I . 1-4 cos I

LT ARR ne AA RS D ne NRA ae au(u?+1) — u(u?— au cos0 +1) —u

IT nous suffit donc de démontrer que, ÀA(x) étant une fonction positive,

croissante, de æ, et æ(À) sa fonction inverse, les quantités D get [= ue convergent ou divergent simultanément.

; | ne } : 2 ÉVEE IL est bien connu que, dans les conditions énoncées, D. et j HET b

convergent ou divergent simultanément. Or

DAT AU ai æ(À) dx Fo “FT

ES dÀ à d ?

IL suffit donc de montrer que l'existence ce de | suis ou celle de és =

entraine que

lim rs = © (zx) ‘ ë I :

Supposons donc que [R a He) converge. On à évidemment lim DER ” dæ

sinon, on aurait, à partir d’un certain nombre, ;; >>Kret Ho Ft) n aurait pas de sens. Montrons qu'on ne peut pas avoir lime een He. En effet, si cela était, il existerait une suite de nombres x; augmentant indé-

finiment pour lesquels on aurait > 5 > 2aetune suite intercalée +, (en suppri-

mant au besoin des x+;) telle que Ê < a. Supposons la numérotation faite de

telle sorte que Ljr LL Dj;

host À°(æ) étant une fonction croissante de æ, on a

z; r à T'; EN (a) SN (a) 6

d'où l’on tire +; > 22° et par suite

T RG > (yes 574

ce qui est contraire à l’hypothèse quand on fait augmenter j indéfiniment. On

. æ 1 RdE a donc a —0o et Mn, = 0. La convergence de / Fa Chtraine celle de æ(À) dà rs

Ré ER l’intégral PNR erge:;montrons téciproquement, Supposons que l'intégrale Tr converge;

que l’on a

: æ Em = — 5.

L—= 2 P(æx)

On a d’abord ins —

5 TS ; restait Supérieur à un nombre positif K

on aurait

et cette intégrale tend vers l'infini en même temps que 5. Supposons que

peut supposer ‘ Ja numérotation de chacune de ces suites faite de telle facon que

RE La fonction æ(X) étant croissante, on a les inégalités DA La»; a}},

d’où . > V2et

Te) a rs y \ v|

En faisant tendre } vers l'infini, on arrive à une contradiction si a= 0. On a

donc a=oetl existence de l’ intégrale f ? ee entraine bien celle de Fe AT