RAT ET
’ * . re. ter . . . .
Il résulte de là que si la série . converge, l'indicatrice (7, 0) est, à r
constant, une fonction continue de 0 pour |0|<-et l’on a
TE
dr, si aæ(ru) du 2 x u(u?+1)
Propriétés asymptotiques de l'indicatrice. — L'expression même de D(r, 0) montre que, à 0 constant, le comportement de D(r,0) lorsque r tend vers l'infini ne dépend que du comportement asymptotique de la fonction æ(X) c'est-à-dire de la répartition asymptotique des nombres X,. Cette remarque sera utile dans les applications des théorèmes du Chapitre VI. Donnons un exemple. Supposons
: 6 Es RS 4 nt k : n que la suite { À, | ait une densité positive et finie D, c’est-à-dire que lim >; — D; = eTE :
“7: T = on a aussi lim ein D, donc pour À A,ona TA
(DE) OU) ED EX bo e ED):
Décomposons l'intégrale D(r, 0) de la façon suivante :
3 x 1 r 3cos0 (21) P(r, = fl + [ ; À À
Quand r augmente indéfiniment, la première intégrale reste bornée puisque A
sil
(1 — ucosô)æ(ru)
= : du À MR
5 est bornée et que “. — = log - est indépendant
u?—aucosÿ +1 u
la quantité L 8
de r. Dans la seconde intégrale, on a ru = A, donc la fonction æ(ru) vérifie les inégalités (20) et l’on déduit immédiatement
(D —e)rb(0) — Cfr, 0) <D(r, 0) L(D +e)rd(0) + C(r, 0), D(0)— cosdlog(2cos0) + 0 sin.
La fonction C(r, 0) restant bornée quand r tend vers l'infini ( 017 =). D'une façon générale, on voit que si, pour À > A, la suite À, est soumise à certaines conditions d’inégalité, on pourra décomposer ®(r;, 0) en deux intégrales comme dans (21); la première intégrale restera bornée quand r tend vers l'infini; la seconde sera évaluée en fonction des conditions asymptotiques imposées à la suite { À, |.
Enfin, il nous sera égalenent utile pour la suite de connaître la propriété suivante :
MRC UNE
La fonction indicatrice croit plus vite que le logarithme de iout polynome. — Et effet, d'après les inégalités (20), on a Pr, 0)2 log! Pe(z) |, € étant le plus grand entier inférieur ou égal à æ(? }: Quand r tend vers l'infini le degré Ë du polynome augmente indéfiniment et l’on a en désignant par Q(z) un polynome quelconque, mais fixe
lim Q(z)e-PMD— 0, 3 — rot (io1<£)
Après cette étude rapide de la fonction indicatrice de la suite {4,}, nous allons revenir à l'étude qui est le but de ce Chapitre, à savoir : quelles sont les inégalités vérifiées par une fonction F(z) représentée par une série (1) en
: EL I : > supposant que la série > > diverge ?
La série (1) peut ne pas converger absolument pour 5 > 58, la convergence
absolue pouvant mème n’avoir lieu pour aucune valeur de 3. Il convient done de remplacer la série (1) par une nouvelle série absolument convergente, nous
permettant d'utiliser les quantités Ja (pour 80) Se (pour S< 0) 0 n
dont la croissance est liée simplement à l’abscisse de convergence de la
série (1) et à la fonction I(7) par les relations (18) et (19).
} À Tr TAC NU Plaçons-nous dans Le cas où la série > > diverge, et supposons que la série y
(1) F(:)= Da, P;()
converge pour z—6+47 (6 >S 0). On a, en utilisant la transformation d’Abel,
nm MG — 1 ne
7 > Na D Py(e)e (ja Pyn)D a+ PaŸ 21e 0 Î V=0 S=0 0
mn
