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Go et C étant deux constantes indépendantes de z. Ayant en vue l’étude de conditions suffisantes de représentation de F(z) valables dans le demi-plan 5 >0, nous nous bornerons à étudier |F(2)| pour >= A (A © 0), A étant déterminé à partir de l’abscisse de convergence S, laissant de côté l'étude de |F(2)| pour z situé dans la bande So < A.
Le cas le plus simple à étudier est celui où $, donc y, est négatif. Dans ce
FOUR ” el) FR LES cas, en effet, la série D est une série numérique convergente. Or, pour : “AA toutnet|0|< = on a[P,(z)| ei, z — red et par conséqueñt,
(25) |F(2)| < Cr er),
Cette inégalité pourrait d’ailleurs être légèrement améliorée, En effet,
quand r tend vers l'infini, le rang € du polynome de module maximum de Ja suite P,(z) augmente indéfiniment et le coefficient de ce polynome, soit tend vers zéro, puisque 1 est négatif.
Examinons maintenant le cas où So, donc um >o. Pour chaque valeur de z, la série au deuxième membre de (24) converge bien, mais le coefficient de P,(z) peut tendre vers l'infini avec n. En effet, si nous prenons, par : exemple, À,— 7, l’on a eb(r) À(n)
= nt,
expression qui tend vers l'infini avec » pour >1. D'autre part, la série À evlb) ee ù as Den est certainement divergente, si bien qu’il faudra partager la série (24)
en trois parties
Ne Vi +2 Ë Si ù A 2 < (26) D + +Y = So + Si + Si.
Avi 0 Vtt
vo est déterminé par la condition que m2 À(%), et est donc indépendant de z.
”. est le plus petit nombre entier tel que D Gi + e) et dépend
3 2 CO deze).
Dans ces conditions, S, se comporte comme un polynome de degré fixe
quand r tend vers l'infini, et par conséquent, on a, comme nous l’avons montré plus haut,
limS, e-Ptr0 — 5;
Pour évaluer S,, nous Femarquons que pour r suffisamment grand, on a
vais
VE Ne ON peut donc dans S, majorer
P,(z)| par |P:(3)] ou encore
par eŸ(”, Donc, en vertu de (15), on a ; Va eut) C (27) Ur BC EE en PDA (Cie).
Dans le cas où l’on peut faire u = 0 1 est-à-dire si S—oetsi >; E converge
on remplacera (27) par
(2%) SES Cire? (y).
Occupons-nous maintenant de S,. Pour y > v,, la suite |P,(z)| est une suite décroissante. On a même
à I 26 7? AT 2 Ce log P 10e P, = - log I = = À = .
D Re UE en an en Caen puisque FR er OA +6), d’où nee A) oh) E| ) } Ds y —{1(V)—1(/ HP AN EE A Av+i / ZIP, er ( ME et
A Sy< Gr|P, Lee Di EEE x.
Supposons alors => (1 |; la somme figurant au deuxième membre
€ . ; W——— )I(") est majorée par e < el 1e) et l’on a
(28) ! Se < Cr | P,, Lens EN DAT e?(r,0)+p().
En comparant (26), (23) et (28), nous arrivons au résultat
® (r, 0) + uJ [ — |
(29) I F(z Er e
C, constante numérique (e 0); D(r, 0), indicatrice de la suite { À, }; u > o, supérieur à l’abscisse de convergence S de la série (1);
* dx
ES
L'inégalité (29) étant valable pour
a (+ (ES)
En particulier, pour la suite À,— x, (29) donne
(30) lF(z)| << CG erleos Ülog(2cos0) +6 sin 6] +1 cos—4 0.
| A = : I Q ; 4 Dans le cas où la série > > converge et en remarquant d’une part que | P,(z)| Y 1 : 4 : ) mes & est majoré dans fout le plan par eŸt et, d'autre part, que la série D converge, on obtient facilement l'inégalité |F(3)| << Cre?t0, } SE valable dans tout le plan.
