CONDITIONS SUFFISANTES DE REPRÉSENTATION

Passons maintenant à l'étude de conditions suffisantes pour qu'une fonction F(2), holomorphe pour 5 > o, soit représentable par une série (1), A 4 2 É I # e T dans le cas où la série du. est supposée divergente. Nous allons pour cela | ÿ

étudier le reste de la série ÉD) SOIT Mi Pan er es coefficients de la série (1) calculés à l’aide des valeurs que prend la fonction F(z) pour

D (CUS) se

Soit Pt ARE Per) EU ar (31) R, (3) Roue Are es.

(GC) étant une courbe continue, entourant les points A1, À5,..:-, À, et’3, et

située tout entière dans le demi plan 9 > 0. On voit immédiatement que Ra(sz)=F(z) — Il, ,(2),

I1,,(3) étant le polynome en 3 de degré (7 — 1) qui prend les mêmes valeurs que F(z) pour z=X;(i—1, 2, ..., ñ). Il suffit donc de démontrer que HmR;}2)= 0 (a Eto);

pour prouver d’abord que la série (r) converge, et ensuite qu’elle représente bien F(z).

Choisissons alors la courbe (C) de façon à rendre le produit Il [É— 2, |, V1 maximum. D'après ce que nous avons vu, cela sera réalisé lorsque n —Ë, c’est-à-dire lorsque