SAS LEUR

Nous prendrons donc pour (C), qui varie avec », le cercle de centre le point , et de rayon À,. Ce cercle est tout entier dans le demi-plan 5 > 0, sauf le point O qu’on pourra éviter par un petit arc de cercle (y) si 0 n’est pas un point régulier de F(2). Ce cercle contient bien les points À, X, ..., A et, pour x assez grand, le point z. D'après (20) on a, sur (C),

RTS

| on

[Pr I>

D'autre part, pour z donné, ona

Pat) < Meter, | da del.

Supposons alors que F(Q) satisfasse à l'inégalité

050 P(e,o)+x( LP (32) FORCE e (0 D+ (Le) pour HÉlESNRA (kS 0), avec les notations de l'inégalité (29).

. Décomposons l’intégrale R, en deux intégrales : l’une R’, pour laquelle o7<A, l’autre, R,, pour laquelle pb A. Puisque sur le cercle (C), on a l'égalité

£ eh . pe . = Can MUR £ x 1(—E) — J[(n), on obtient, en utilisant les inégalités vérifiées par | P,(2)|, ner mer

elk+E—0) Il (a h

Rte

a. | est borné pour € sur (Cet ==n,(z). On a donc, poure > #, lim R' — 0.

Supposons, en outre, que F(£) soit bornée pour É—X+1Y, OZX<e; |Y|-ZA; dans ces conditions, l'intégrale R, tend aussi vers zéro quand 7 tend vers l'infini, puisqu'on a alors.

el 3ACM Ë d

| Ri | Le (—0+ E)I (2),

En résumé, nous obtenons le théorème suivant : Taéorème. — Si une fonction F(z) est holomorphe pour 5 > o et bornée pour

oo<e;/|T| LA, et satisfait pour |3| > A à l'inégalité

cos D,0+H (EE ; e 2 cos 0 r

avéc 2 = red 4 it (kS 0),

alors F(z) est représentable par une série (1) dont l’abscrsse de convergence est au plus égale à k.

THÉSE Y. MARTIN.

PRE nu

Ù ; 3 A : cos 0 l Dans la majoration de F(<), nous avons dû introduire le facteur —— et l’on pourrait craindre que cela n’entraine que la fonction F(z) tende vers zéro le

, Ô , , 7 î : 1Q à long de 0 y. Il n’en est rien en général, car le terme (5) croît suffisamment vite pour que le deuxième membre de (83) ne tende pas vers zéro quand cos tend vers zéro. Il existe cependant des cas où le phénomène se produit. Par

exemple, si l’on prend la suite À,—(n + 1)log(n +1), on a

I(z) — log (ED).

log 2 Ne ; à RUES I WE D'autre part, puisque la série >) ,- converge, la fonétion (7, 0) reste bornée \y pour [0|= et le deuxième membre de (33) tend vers zéro en même temps que cosÜ. Une autre séparation de l'intégrale (31) n’a pas pu, dans ce cas, nous fournir de renseignements plus précis, et il semble bien que ce phénomène,

‘ : ne I . \ Û x qui se présente lorsque la série ; ; diverge très lentement, tient à la nature \y

même du problème.

Conséquences. — Supposons qu'une fonction F(z) holomorphe pour 60 s’annule pour 3 — À,; si l'inégalité (33) est vérifiée, alors, comme les coefficients de la série (1) sont tous nuls, F(z) est identiquement nulle, puisqu'elle est représentée par sa série d’interpolation. En particulier, supposons qu’on

Û : hp TL. . r prenne À, = nr? (0 <{p<{1). Pour 0 fixe différent de +- = on voit que 1( )

2 cosÜ

’ ne À . . È .

est de l’ordre de grandeur de r? et est négligeable devant la fonction indi-

catrice D(7, 0) qui est de l’ordre de 7”. Pour p—1,ona JA) —logÀ et D(r,0) est de l'ordre de r; et les résultats précédents sont donc encore valables.

Supposons que la fonction F(z) soit d'ordre > (o << p<1), et posons : \

= — ] ol FH roil

h,(0) = Tim PRAGUE.

Fr

/ à l | ù 2 cos 0 AE C p Res VAE à gr(0)= f u? (1— ucos0) du

U—92ucos0 L7

Nous pouvons alors énoncer le théorème

TuÉORÈME. — Si une fonction holomorphe pour 50 est d'ordre égal à

3 (0 UD ielot, pour |0|<?,

Rn(0) <Y,(0),

alors cette fonction F(z) ne peut s’annuler pour z — n° (n = ro M tud#sans.étre tdentiquement nulle.

Dans ce théorème, on peut évidemment remplacer la fonction F(z) par la fonction F(z)—P(z), P(z) étant un polynôme donné quelconque; comme d'autre part, deux fonctions prenant les mêmes valeurs pour 2 =; (Sn) ont des développements (1) qui ne diffèrent que par un développement de O, on voit qu'on obtient le théorème suivant analogue à celui obtenu par M. Bernstein [7] dans le cas où la suite { ,} est à densité maxima finie.

Tuéorème. — Sr une fonction F(z), holomorphe pour 5 == 0 est telle que nl On SP (27) (pour tout n >= nr); 20 h,(0) < d,(0) | pour tout 0, (1127) À;

alors on a

F(s) = P(:) [P(z) polynome arbitraire donné |.

Ce théorème peut encore être généralisé grâce aux remarques que nous avons faites sur le caleul de la fonction D(r, 0) lorsque la suite { À, satisfaisait à certaines conditions asymptotiques. Le théorème précédent prend alors la forme suivante :

Taéorèue. — S: une fonction KF(z) est holomorphe pour 5-0 et vérifie les conditions 1° EAN PE) (pour tout nn); pe MO) < (0) (pour wut0, 101 LT); K? F )

les nombres }, vérifiant lim

et p un nombre fixe vérifiant o <°p 1, alors on a

FT ZK, P(z) étant un polynome donné à l'avance

On voit, par le même raisonnement, que la série (1), quand elle converge, fournit la fonction F(z) de croissance minimum prenant pour 3 — à, certaines valeurs A, données à l'avance. La fonction F(z)est donc déterminée uniquement par les nombres A, d'indice supérieur à un nombre donné arbitrairement grand. - Ainsi, lorsque nous cherchions les fonctions O0,(:)s’annulant pour :— À, (v£ p) avee O,(À,)—1, leur développement (1) ne pouvait représenter que la fonction zéro et leur abscisse de convergence ne pouvait être inférieure à 4,, puisque pour z— À, nous imposions une valeur O, (X,) différente de celle imposée par la suite des valeurs 0,(À,) (+ > p), suite qui, à elle seule, suffisait à déterminer la fonction.

RL

Ces résultats s'étendent facilement aux fonctions définies dans l'angle

Lo

[0x <{ 7, moyennant la transformation Z — z* et nous fournissent ainsi des théorèmes relatifs aux fonctions définies die un angle donné, et dont les valeurs sont connues, en certains points de la bissectrice de cet angle.

Les résultats qui précèdent ont été obtenus, moyennant l'hypothèse que la

série D >. était divergente. Il est facile de voir que cette condition est néces- À ; PES I : à 5 e saire; en effet, si la série Dire converge, 1l est possible de construire une

fonction s’annulant pour z: — À,, bornée dans le demi-plan ç == 0et non identiquement nulle. Il suffit de considérer le produit de Blaschke [4]

RTE)

Fonction qui répond bien aux conditions i imposées et reste inférieure ou égale à 1 en module pour 5 0.