DD LE
d’où l’on tire
p P—i (3) DE ess | Le Lel+ De — cou mm Or, q (&) log cl => log 1— £ +oS(g).
Quand z est fixe, différant de À;, le membre de droite de (4) a une limite, quand g tend vers l'infini, puisque la série Dire converge. Donc |c,| << C.
D'autre part, dans les mêmes conditions, on a
e lv+1 ; 4 : C:
Fe nl] © I ————|<Cli- — —e pr < 5 La Aya TER TER Av
Par suite, le coefficient de < dans (3) est borné quel que soit p pour z fixe. La série (2) est donc convergente.
Réciproquement, supposons la série (2) convergente, et posons, cette fois, Hunt brel pc: Die hypothèse, il existe un nombre »,(e) tel que,
pour p=m=n(£) on ait Sul :. Appliquons encore la Aron
d’Abel
oi
Dr — 2 (Re) De D
donc P TEE
(5) d'arPe SAME | Cp EDS Cy+s ;
m mn
analogue à (3), mais avec des notations différentes. Or, on a |c,|<7 C puisque
log|c,| =D log
. RS , . re < Lo et que cette somme a une limite lorsque g tend vers l'infini | la série »* 5: étant on
convergente et 3 fixe }. D'autre part,
(4 5 = à \ 1 Care GC SC LU ET) pe EN NE LE ; | 2 V +1 | | 2 | ( de ) 1e
Le coefficient de < dans (5) restant borné pour z fixe, la série (1)est bien
convergente.
, . , \ % Q 0 Pen e EU La démonstration de ce théorème a nécessité la convergence de la série > 5:
Nous allons voir que, inversement, si la série >» > es divergente, on peutcons-
truire des séries associées (1) et(2) qui n’ont sur la droite de convergence qu'un
seul point de convergence commun.
Considérons, en effet, la suite des nombres définis par les égalités
fn ST AU ares 1 % REC ;
on à
à 16 lim, = 0.
n=n Extrayons de cette suite, une suite partielle de nombres a, tels que l’on ait
/ I ide 1 Es PEL la série das converge. Posons alors KR
Ün=)0 Sin ny et die
La série (2) converge normalement pour 5 —0. Quant à la série (1) elle converge pour 3 — 0, mais diverge pour 3 —77, << 0. En effet
ASE Re LU : 2477 Pret) PCT) Mae avecmCO(r)= 6 pour #20; puisque pour y réel, compris entre zéro et un, on a log(1+ )> Z. Donc Lys FAN TeA (PAGTHE=C(r)e" et a ny Zk PNR en k 2 d }
A quantité qui augmente indéfiniment quand # augmente indéfiniment, = restant fixe et non nul. | |
En ce qui concerne les points singuliers des fonctions F(z)et D(z) définies par les séries (1) et (2) pour 5 >, nous pouvons établir le théorème suivant :
Tuéorbme. — St les séries (1) et (2) convergent pour 5 >'S et st la densité supérieure de la suite |} est finie, les fonctions K(z)et D(=) définies par les séries (1) et (2) ont mêmes points singuliers sur la droite de consergence, sauf peut-être pour 3=)À;stS — };. Dans ce dernier cas, si 3 =; est un point régulier pour D(z3), tl l'est aussi pour K(z), la réciproque pouvant ne pas étre vraie.
Supposons donc qu'on ait
n à l à RER DOUROATE Te \n
K étant un nombre positif arbitraire, plus grand que la densité supérieure D, de
4 = Er SU ; ne È z la suite { À,!. La série > > est convergente, et le produit infini de Weïerstrass . a ë
“ # 7 N … 1— — |e” V1 définit une fonction entière E,(z); posons, d'une façon générale,
pe Il (: Le = Ver,
DL
on a alors légalité valable pour 7 = 0 (6) Eten en, PAGE; tx)
Étudions les fonctions E,(z); pour 3 fixe, on voit que limE,(z)=1.Plus
n—=2 précisément, supposons |z|<{C et choisissons un nombre »,>n, tel que pour nn, on ait À, > 20.
De l’inégalité
/ el ANT (7) log(r —y)+y Ta t her fe
y|-<"; nous déduisons, en posant = y et en ajoutant les inéee Ro D 1 1
valable pour
galités obtenues pour Y=n +1, n+2,...
ST 0) I z DE ler a (8) loges) =D less D n +1 nm +1 ou bien PES 2# ù Hs, n) ÿ! .
(9) D E (Ye n+1 TP
D(z, ») étant une fonction qui reste bornée dans les conditions indiquées plus haut, (|:[<Cetr=n,). Commeona
on en déduit
0,(z, n) restant bornée dans les mêmes conditions.
En faisant successivement, 7 — 0, 1, 2, ... dans les égalités (6) et en ajoutant membre à membre, il vient ) (10) E(3) D(3)— F(x)= Yan Pal Eu(z)— 1],
valable au moins pour 5 > 5.
Il suffit donc de démontrer que la série au second membre de (10) converge Q
uniformément pour 6>S8—0 et |r|<{G (20) pour établir le théorème énoncé plus haut. Étudions les séries
ds (x1) 2,9 nPr £
0 1 +1 et |
an,
12 L (22) Dre
LE
Nous savons que, pours <S+<etn >n,
Ip | < re etorian M, neo, Donc, :
