GER

P,(2) n +1 < M,k? FA Pre) EE

{ P,CS = €) puisque, pour n° =n,, on a

S(2)<K logn +K,; (K:, indépendant de »).

Enfin

Pins) wi P,(z) Pru(S +e) Au PA US +2 n +1 fe P,Us :) ï [ Joue | Ps) I À ES

1P(S+e) Sr

ñn +1

nH1— S —E€

MAD ve

où les deux termes du second membre sont majorés par C, ns (étant indépendant de n.

En appliquant la transformation d'Abel à la série (11) avec

RE LAN ONE SUNSET UMR ( €) e C EE ne

rss on voit que la série (11) converge uniformément pour

TN S+E— pe FA K

et ep C (n >> 0 arbitraire).

La série (12) converge absolument et uniformément dans les mêmes conditions puisque, alors,

An Al

HD | < Gt.

Comme e et n sont arbitrairement petits et K aussi voisins que l’on veut de la densité supérieure D, de la suite { X,}, on voit finalement que la fonction

I « , 5 , 1 , est holomorphe pour 5 > 8 — ;-; d’où résulte le théorème annoncé.

Si S — À; on voit que si z — À; est un point régulier pour D(z), il l’est aussi pour F(3), mais que, réciproquement, s’il est régulier pour F(z) il est soit un point régulier, soit un pôle simple pour D(z). C’est ce qui se produit quand F(:) est une des fonctions O,(:) étudiées plus haut. Nous allons montrer par un exemple, qu’il n’est pas possible d'améliorer le théorème précédent. Pour cela, nous allons former deux séries associées () et(2)telles que la fonction E, D —F

ne soit plus holomorphe pour z —S ce + Prenons la suite { À,} formée par les entiers L, 2, ...,n,...eta,—=n", « réel, différent de zéro, non entier positif, et posons

G(s:)— Be) Ds) FT Pat )[En(s) — 1], avec

Les séries (1)et(2)admettent la droite s — «+ 1 pour droite de convergence simple et absolue. La densité de la suite { À,} étant égale à 1, nous allons montrer que le point 3 — « est singulier pour la fonction G(z). Soit, en effet, æ un nombre réel supérieur à &. À partir d’un certain rang, les polynomes P,(x)

ASS : sen LI Nes 7 gardent un signe constant puisque les quantités Ps sont positives pout

> Let 0ra |Pr(æ)|> Ga,

valable pour 4<x.<a +, C étant une constante positive, indépendante de x et de », et e un nombre positif assez petit pour que l'intervalle (x, a+e) ne contienne pas de nombre entier. D'autre part, un calcul facile montre que

l’on a

CRTC

C; étant une constante positive, indépendante de x et de æ, pour 7 > n, et ACT ITA HE.

La fonction G(æ) est donc représentée par une série à termes réels de signe constant (au moins à partir d’un certain rang) et le terme général de cette série est minoré par la quantité C, n°", on en déduit l'inégalité

K Dre 6

IG(æ)|>

qui prouve que lim |G(xz)|=+ 0.