LL X

Le point : — x est un point singulier de la fonction G(z). En divisant les nombres À, et z par un même nombre D, on voit par ce même exemple, qu'il existe des séries associées (1) et (2) telles que la fonction

G(z)=E,(3)D(z3)— F(z) admet le point z — . pour point singulier, l'abscisse de convergence simple et absolue des séries (1) et (2) étant « — . On ne

peut donc pas dans le cas général, espérer augmenter l'épaisseur de la bande où D(z)et F(z3) ont mêmes points singuliers.

Grâce à ce théorème, nous pourrons étudier la distribution des points singuliers de la fonction F(z) représentée par la série (1) situés sur la droite de convergence de (1) si nous connaissons celle des points singuliers de la fonction D(z). Tout théorème valable pour les séries de Dirichlet sera valable pour les nm

séries d’interpolation (1), à condition que l'inégalité [im

qui entraine pour les exposants de la série (2) de Dirichlet

<ÙK soit vérifiée, ce

S(2)<K logn + K..

En particulier, nous pouvons énoncer ce théorème dû à M. Aronszajn, dans le cas des séries de Dirichlet.

THÉORÈME. — Sx l’on a Ce) 0 ur An —=2 es

RO UUK = 0)