LS

on peut définir les coefficients a, de la série (1) de telle façon que la somme F(z2) de cette série soit holomorphe sur la droite de convergence simple et absolue de la serrer)

Comme autre application de ce même théorème nous allons montrer que les séries d'interpolation (1) satisfont aux théorèmes taubériens valables pour les séries de Dirichlet. Nous savons déjà que, quelle que soit la suite {A,}, les séries (1) satisfont au théorème d'Abel. Réciproquement, supposons que l’on alt LS M —A(n)S(n)

lan] (M indépendant de »)

et que F(:) tende vers une limite S quand z tend vers 3,<À; le long d’une parallèle à l’axe réel (5 => 0). Dans ces conditions, la fonction associée D(2) a une limite S’ puisque E, D — F est continue au point z,, et un théorème taubérien dû à Littlewood [6|, montre que la série (2) converge pour z — z, et que

D(2,)= S". Or, puisque Die converge, nous savons que les séries (1) et (2)

convergent simultanément. Donc, la série(1)converge pour : — z, et sa somme est égale à S, puisque la série (1) satisfait au théorème d’Abel.

Revenons, dans le cas général, à l'étude des points singuliers de F(2). Il est possible d'établir pour ces séries, un théorème analogue à celui de Landau valable pour les séries de Dirichlet; d’une façon précise, nous pouvons énoncer le théorème :

TaéorÈmEe. — Sr l’on a 4,=0 pour tout n==n,, et st la série (1) a une abscisse de convergence finie S le point : —S, est singulier pour la fonction F(z) représentée par la série (1) à condition toutefois qu’on at S 7 }.

En effet, si ÀA,<S <TÀ,:,, posons DE

F(:)—ÿ, GnPn(z)

Pate P,(&) ne ne

F(z)et F,(3) admettent simultanément le point z —S pour point singulier ou régulier. Il suffit done, d’après cela, de démontrer le théorème pour S << X,, en changeant éventuellement la numérotation de la suite {À,}. On a

ù pr(ars) :

F(z =V (z ) dam n | D

valable, au moins, pour

Si: —$ est un point régulier de F(z), cette série de Taylor a un rayon de ki 'S

etl’on a

convergence supérieur à

avec

ANS L ARE Fr fe Jar (ee).

Or, nt (Es PPS) 0,”

FCS — :) est donc donné par une série double absolument convergente et, en ordonnant par rapport à p, on trouve

ce qui est impossible, puisque S est l’abscisse de convergence de la série (1).

Si S — À,, le théorème est en défaut comme le montre l'exemple du développement de 0, 0,(:). Dans ce cas, en effet, on vérifie bien que la fonction F;(z) admet le point z — }, pour pôle simple, alors que F(3) y est régulière.