TT

Comme précédemment, nous commencerons par l'étude du domaine de

convergence des séries (1). Pour cela, étudions d’abord les polynomes Q,(z). On a

TE) (no)

et comme nous avons supposé la série DA convergente, nous voyons que l’on a, uniformément dans tout domaine fermé ne contenant pas l’origine,

lim LE 2 r(2); avec EC)=1T(-2 L—= œ Ge æ = $ el

FA

I / Ê 4 L , NS E(<) étant une fonction entière de — s’annulant pour 32 =}, et égale à 1

pour z infini. De cette propriété, nous déduisons le

TuÉéoRèME. — Le domaine de convergence simple et absolue de la série (x) est le cercle |3|<CKR, R étant défini par I TP PT enr (2) g = lim Vial.

La série (1) converge normalement (c’est-à-dire absolument et uniformément),

pour |3|CR'<R.

En effet, supposons R fini non nul et soit z un nombre non nul de module inférieur à R. On peut déterminer un nombre », tel que pour #7 2, on ait

d’où

(21% À (3) lan Q, (3) | <H Le ; terme général d’une série géométrique convergente, que l’on peut majorer en remplaçant dans (3) || par R' si }2/ZR'; la série (1) converge donc absolument pour |z|<R et uniformément pour |3[<R'<R. La démonstration n’est

pas valable pour 3 —0, mais la série (1) converge uniformément sur le cercle

:1= 2 et un théorème classique de Weïerstrass permet d'affirmer que la

À : R convergence uniforme a lieu également pour || <—:

LR

D'autre part, si|3| >Retz2£ À;, on a pour une suite infinie de nombres n,

Len Que) À RE)"

quantité qui tend vers l'infini et la série (1) diverge pour }z| > R(:3< 4;); on ne peut rien affirmer dans le cas général pour |z| =R.

Le calcul des coefficients 4, se fera exactement comme pour les séries étudiées au début de la première Partie, nous aurons également des représentations de 0 valables dans les cercles

1 = AE TT ; ù

Ces séries feront également exception au théorème d’Abel que nous démon-

» 7: \ RO Rs .

trerons plus loin. Comme précédemment, dans le cas où la série N° ; était æ—d },

supposée divergente, deux fonctions dont les valeurs aux points z—}, sont égales, sauf pour un nombre fini d’entre eux, doivent être considérées comme identiques. On peut même aller plus loin, puisqu'on sait que deux fonctions holomorphes pour |} <[R(R > 0) ne peuvent prendre les mêmes valeurs pour une suite de valeurs À, de la variable ayant le point O pour point d’aceumulation sans être identiques, la différence de ces deux fonctions ayant alors un point d’accumulation de zéros à l’intérieur de son domaine d’holomorphie.

L'étude des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction G(z) soit représentable par une série (1) est ici très simplifiée.

1° Si la série (1) converge pour |z|<{R, G(z) est holomorphe dans le même cerclé |3)<CR.

2° Réciproquement, l'étude du reste de la série (1) É Qn(s) G(E) dt