DT PAC) C

R;(s) — l'intégrale étant prise le long d’un cercle (C) de centre O à l’intérieur et sur la frontière duquel la fonction G(£) est holomorphe, montre que la série (1) converge et représente bien G(z) dans le plus grand cercle de centre O dans lequel la fonction G(z) est holomorphe : la série (1) a le mème rayon de convergence que la série de Taylor de G(z).

Une objection se présente ici, et il semblerait que les développements de 0, de rayon de convergence À,, fassent exception au théorème énoncé plus haut. En effet, la fonction O n’a pas de points singuliers et cependant la convergence de la série (1) n’a pas lieu dans tout le plan. C’est que, pour le développement 0, (2) par exemple, nous fixons

(GROS ER es 7 et ONE

On doit alors considérer que G(3) n’est pas la fonction entière 0, mais qu’elle

Leg TRES

présente le point singulier z = À,. Ainsi, lorsqu'une série (1) a un rayon de convergence R non nul, deux cas peuvent se produire.

Premier cas : Hz — La fonction G(z D un point singulier sur le cercle R de la série (1).

Deuxième cas : R—},. — Il se peut qu’en modifiant la valeur de G(2) pour 3 — À, [c’est-à-dire, en ajoutant à la série (1), un développement de 0 conve- Sable] la nouvelle série obtenue ait un rayon de convergence supérieur à R. Le point z — À, était alors un point singulier parasite de G(3) introduit par un mauvais choix de G(/,). Nous voyons donc, qu'en général, si l’on se donne arbitrairement, pour G(À,) des nombres À, ayant une limite lorsque » tend vers l'infini; la série (1) aura un rayon de convergence nul. Au contraire, si les nombres À, sont les valeurs d’une fonction qu’on sait être holomorphe dans le cercle |z|<{R on est assuré que la série (1) converge pour [2] <CR.

C'est là une généralisation de résultats bien connus relatifs aux séries entières.

Nous énoncerons enfin quelques théorèmes vérifiés par les séries d° interpolation (x) et qui montrent la profonde analogie de ces séries avec les séries entières.