ÉTUDE DE LA CONVERGENCE DES SÉRIES (1) SUR LE CERCLE DE CONVERGENCE

Nous démontrerons d’abord le

Taéorème p'ABez. — Sr la série d'interpolation (1) converge pour 2 = 3% À;

Fig. 8.

elle converge uniformément au voisinage du point z, dans un angle (D) de sommet z, intérieur au cercle de convergence (fig. 8).

Supposons done que la série (1) converge pour 3: = 23,7 et appliquons la transformation d’Abel à

é ), (3) \ Be O0 te, Loi An Qn(&) D Fe Qn ( o) Q (Zo)

An pes

il suffit de prouver que, pour 3 dans (D), les quantités

CHONER - (4) Q,(20) | et P € ! O3) O1) (5) 2 Qn(20) el

sont bornées, quels que soient les entiers », m et pm. Puisqu’on a uniformément, pour 3 dans (D), ÿ x:

lim SD LE (2),

on déduit pour 3 dans (D)

ZM (pour tout »)

et pour z — 2; A | (pour tout »),

h et H étant deux constantes indépendantes de 2 et z puisque aucun des polynomes Q,(z) ne s’annule pour z = 2,“ À;.

On a donc Que) | H}z/" ds l< re D'autre part, Qn(z) (APR 2) LE Q;(2) 3 af

| D DER | H RE pont ——

Qn (30) nm Quir(zo) | Qn(20)

d étant le minimum non nul de [z,— À,| quand » prend successivement les valeurs 1, 2,3, .... On en déduit alors

(DFE) Or (e) | H | fs ' Lo ET PA — — = | 7 Z — £ = | = ° ——— ..

O0) Ori) | 4 à o| > A hd |z|—12]

La quantité reste bornée dans le domaine (D) et le théorème est

Ë [%l— 13] démontré.

Nous allons maintenant, pour démontrer que la série (1) satisfait à un théorème taubérien, établir un lemme qui nous fournira une nouvelle démons-

tration du théorème de continuité d’Abel.

LEMME. — Si l’on a

(6) nie",

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