IL Q

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination.’ 47

Chacune des fonctions entières de z, Q(z; p;), est donc indépendante de z et comme le coefficient de la plus haute puissance de z est égal à l'unité dans toutes les fonctions considérées, et, par suite, aussi dans Q(z; p4), nous pouvons écrire

Q(z; Pa) ke RES Ainsi

ñn

ÏL 6,(4; po) = Fe + up:; pi).

Chacune des fonctions 4, contient l’indéterminée #. D’après le théorème fondamental sur la réductibilité des fonctions de plusieurs variables dans un domaine naturel de rationalité, nous savons que 0, est fonction entière de cette indéterminée #, puisque F(2 + w0,; p,) est elle-méme fonction entière de w. En développant les deux termes de l'égalité précédente, suivant les puissances de #, nous obtenons donc, enfin, une décomposition de la fonction F(z; »,) dans le domaine général de rationalité (0x5 R', À, ..., La À

Nous avons ainsi un premier exemple de l'emploi des indéterminées en Alseébre. Si l'on se proposait simplement d'assurer la présence de », dans les coefficients de F(2; »,) on pourrait aussi poser 2 = # + ap, et donner à & une valeur quelconque différente de celles qui annulent le résultant de Fr + ap,; p,) et de F(x + ap; px), pris par rapport à #. En effet, nous ne nous sommes servis de l’indétermination de # que pour montrer que Æ(2 + u9,; p,) et F2 + up; D) ne pouvaient avoir de diviseurs communs par rapport à 2. Et, d'autre part, nous avons démontré que la condition nécessaire et suffisante pour que deux fonctions qui, en général, sont sans diviseur commun, aient un diviseur commun pour des valeurs particulières données à eurs coefficients, est que le résultant de ces deux fonctions s’annule pour les valeurs particulières considérées.

Nous obtiendrions ainsi |

F(x + any; Pr) — IL 6, (v; Ps) donc aussi

Fe; 1) = I 6, (2 — ap;; pi)

et, par suite, la décomposition cherchée,

48 J. Molk.

Cette décomposition ne peut d’ailleurs étre poussée plus loin. (Car si 0,(2; p}), par exemple, contenait une fonction »,(2; p,) et si nous avions

023 où) = Me; 0x) QG (es Px)

noùûs aurions la même égalité pour # = 1, 2, ..., À, puisque p,, 2, ..., 0 sont les À racines d’une équation irréductible dans un domaine naturel de rationalité. Nous aurions donc aussi

À À V(z) = IUCAICE fi) IL G (2; 0)

et comme chacun de ces produits est une fonction entière de z dont les coefficients font partie du domaine naturel (H', R”, ..., R), la fonction V,(z) ne serait pas irréductible dans ce domaine contrairement à la définition de cette fonction. |

Enfin la décomposition précédente est univoque. Il est facile de s’en assurer à l’aide de l'algorithme d'Eucripr, par un raisonnement tout à fait identique à celui du paragraphe 1 de ce chapitre.

3. La décomposition d'une fonction de plusieurs variables en ses facteurs irréductibles, dans un domaine général de rationalité, ne présente plus maintenant aucune espèce de difficultés. En effet, rien n’est changé, dans ce qui précède, si nous considérons plusieurs des variables-indéter-. minées dont » ne dépend pas, comme si elles étaient des variables quelconques, à condition toutefois que Æ en soit fonction entière. Le

produit IT F(e De 66 Lars DE UT IS RS

où Fest une fonction entière des variables 2, 4, 2, ..., 2, dont les coefficients sont fonctions rationnelles des variables-indéterminées H’, HR’, et de la fonction algébrique © de ces variables-indéterminées, est également une fonction entière de 2, , ..., 2 dont les coefficients font partie d'un domaine naturel de rationalité. Mais nous avons démontré que, dans un tel domaine, la décomposition d’une fonction entière de plusieurs variables indépendantes est identique à celle de la même fonction, par rapport à l'une des variables seulement. Dans le cas que nous

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 49

considérons, les fonctions 4, sont donc entières, non seulement en 2, mais aussi en ê , ê9 , 27 9 ee .

Le problème que nous nous étions proposé est ainsi résolu. [L’adjonc-

tion d’une fonction algébrique 9 à un domaine naturel de rationalité

rend parfois réductible une fonction entière de z, irréductible dans le domaine naturel considéré.

Désignons par £ les racines de cette fonction égalée à zéro. Il est intéressant de remarquer qu'il existe entre 9 et {une complète réciproeité. Soient, en effet, F(z) une fonction entire de degré n et G(r) une fonction entière de degré k, toutes deux irréductibles dans le domaine considéré. Supposons que par adjonction d’une racine pw de l'équation G(r) = 0, la fonction F(z) devienne réductible et qu’un de ses facteurs soit (2; »). Nous pouvons réduire à (4 — 1) le degré de cette fonction par rapport à p, à l'aide de l'équation G&(r) — o qui est vérifiée pour r—p. [L'égalité f(£, ») — Oo nous montre alors que la fonction f(£, r) dont le degré, par rapport à r, est plus petit que X, est égale à zéro pour l'une au moins des racines de l'équation irréductible G(r) — 0. L’adjonction de £ au domaine de rationalité rend donc réductible là fonction irréductible G(r). La réciprocité de £ et de p est ainsi démontrée,

Voici donc l’idée d'irréductibilité étendue aux fonctions entières dont les coefficients font partie d’un domaine général de rationalité. L'étude des fonctions entières quelconques est ramenée à celle des fonctions entières irréductibles quelles que soient les fonctions algébriques des variablesindéterminées que nous supposions connues.

Un premier pas est ainsi fait dans la voie de la décomposition des fonctions entières. Il peut étre continué dans deux directions différentes. Ou bien l’on peut se proposer d'élargir encore le domaine général de rationalité, comme nous l'avons indiqué à la fin du paragraphe précédent, et si l’on y parvient d'étendre, si possible, au domaine obtenu l'idée d'irréductibilité. Ou bien l’on peut rechercher si plusieurs fonctions que nous embrassons en un système après les avoir débarassées de leurs facteurs communs dans un domaine général de rationalité, ne peuvent avoir.encore un élément arithmétique commun, et si l’on ne peut ainsi étendre l’idée même de décomposition en facteurs. Cette double recherche sera l’objet des chapitres suivants.

Acta mathematica. 6. Imprimé 9 Juin 1884.

50 , J. Molk.

CHariTREe II.

Introduction des systèmes de diviseurs en Algèbre.

D Déjinitions.

1. Un système de fonctions d’une, de deux ou de trois variables, égalées à zéro, est susceptible d'une interprétation géométrique.

Une fonction entière d’une variable, d(x) égalée à zéro et interprétée sur une droite y définit un nombre fini de points; si la fonction entière (x) est: débarassée de ses facteurs doubles, ces points seront distincts. Nous savons alors que toute fonction F{x) qui, égalée à zéro, définit, entre “autres points, ces points distincts, contient la fonction @(x), et nous observons ainsi une correspondance directe entre l’idée de contenir, se rapportant aux fonctions entières d'une variable et celle de systéme de points, sur une droite, faisant partie d’un autre système de points sur la méme droite, se rapportant à ces mêmes fonctions entières d’une variable, égalées à zéro. x |

Une fonction de deux variables égalée à zéro et interprétée dans un plan y définit une courbe. Considérons deux courbes planes ®(x, y) = 0 et x, y) — 0. Deux cas peuvent se présenter suivant que ces deux courbes ont des courbes communes ou n’en ont pas. Si elles ont des courbes communes ©, ces courbes seront représentées par le plus grand commun diviseur #(x, y) de (x, y) et de W'(x, y), égalé à zéro, et lorsque les courbes C font partie des courbes définies par une fonction entière F(x, y) égalée à zéro, nous savons que F(x, y) contient le plus grand commun diviseur Û(x, y). Ainsi, ici encore, nous observons une correspondance directe entre l'idée de contenir se rapportant aux fonctions entières de deux variables, à leur plus grand commun diviseur, et celle de système de courbes, dans un plan, faisant partie d’un autre système de courbes situées dans le même plan, se rapportant à ces mêmes fonc-

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. o1

tions enticres de deux variables, égalées à zéro. Si elles n'ont pas de courbes communes C, elles peuvent cependant avoir un nombre fini de points communs P. Si ces points sont distincts, on démontre que toute fonction entière de æ et de y, f(x, y), qui s'annule pour tous ces points P, est fonction linéaire et homogène de (x, y) et. d'(x, y), à coefficients fonctions entières de x et de y. Quoique nous ne donnions la démonstration de ce théorème que dans le chapitre suivant, nous pouvons cependant le supposer connu, dés à présent, parce qu’il s’agit ici simplement de légitimer : l'introduction des systèmes de diviseurs en Algébre, et non pas de démontrer quoi que ce soit. Ce théorème nous montre une correspondance directe entre être fonction homogène et linéaire de deux fonctions entières Dx, y), x, y) sans diviseurs communs, et celle de représenter un systéme de courbes et de points dont font, partie les points communs aux deux courbes ®(x, y) — o et (x, y) — 0. C'est pourquoi nous dirons, par analogie avec le cas précédent, que la fonetion entière f(x, y) contient le système des deux fonctions (x, y), W'(x, y), que ce système est contenu dans f(x, y), ou encore est un système de diviseurs de f(x, y).

Il en est de méme pour les fonctions entières de trois variables; dans l'étude des formes géométriques définies par ces fonctions égalées à zéro, il faut distinguer deux cas Ou bien les formes communes à trois fonctions de trois variables égalées à zéro sont des surfaces et alors ces surfaces sont représentées par le plus grand commun diviseur des trois fonctions considérées, égalé à zéro; toute fonction qui contient ce plus grand commun diviseur, représente, si nous l'égalons à zéro, entre autres, ces surfaces; nous avons donc, de nouveau, dans ce cas, la même correspondance que pour les fonctions d'une et de deux variables. Ou bien, les formes cominunes aux trois fonctions considérées égalées à zéro, sont des courbes et des points et alors toute fonction qui, égalée à zéro, représente entre autres ces courbes et ces points est fonction homogène et linéaire des trois fonctions considérées. Nous dirons, de nouveau par analogie, qu’elle contient le système des trois fonctions considérées. Mais tandis que pour les fonctions de deux variables, aux courbes communes correspondaient les diviseurs, et, aux points isolés communs, les systémes de diviseurs des fonctions considérées, ainsi: à chaque élément géométrique, courbe et point, une idée analytique différente, les points et les courbes sont encore confondues pour les fonctions de trois variables. Pour distinguer

92 J. Molk.

les deux cas qui peuvent se présenter, celui où des fonctions de trois variables, sans diviseur commun, égalées à zéro définissent des courbes et des points, et celui où elles ne definissent que des points, nous dirons, dans le premier cas, que le système de diviseurs est de rang deux, et, dans le second cas, qu'il est de rang trois. Le rang d’un système ne dépend donc en rien du nombre d'éléments de ce système. Un diviseur de rang un d’un système de fonctions entieres, est un diviseur de ces fonctions, dans le sens habituel du mot.

Nous pouvons ainsi continuer, et considérer des fonctions d’un nombre : quelconque # de variables. Nous dirons alors qu'une fonction entière contient un système de fonctions entières lorsqu'elle est exprimable par une fonetion linéaire et homogène de ces fonctions entiéres dont les coefficients soient également fonctions entières des » variables considérées. Comme dans le cas de trois variables, nous distinguerons entre des systèmes de rang un, deux, trois, et ainsi de suite jusqu’à # suivant que les formes géométriques représentées par les fonctions données, égalées à zéro, sont de variété (n— 1)", (n — 2)°%, (n — 3)°%, et ainsi de suite jusqu'à zéro; dans ce dernier cas elles représentent des points isolés situés dans la variété #°*° donnée. Nous dirons souvent système de diviseurs au liéu de systéme de fonctions à cause de l’analogie qu'offre un système de fonctions contenu dans une fonction entière avec un facteur, wn diviseur de cette fonction entiere. | Ë

2. La définition que nous venons de donner est indépendante de toute interprétation géométrique, sauf toutefois l’idée de rang que nous ne pourrons préciser d’une manière arithmétique que dans la théorie générale de l'élimination. Ce qui précède avait simplement pour but de nous faire voir comment on pouvait étre amené à-donner précisément cette définition de contenant et de contenu de préférence à toute autre.

Cependant cette définition n'est pas encore complète. Nous n'avons parlé que de variables comme éléments des fonctions entières considérées et, en effet, la géométrie ne peut pas nous donner autre chose. D'après les principes développés dans le chapitre premier de ce Mémoire, il nous reste à tenir compte des nombres entiers. C’est pourquoi, étendant encore les définitions précédentes et les faisant concorder avec les recherches arithmétiques que nous avons en vue, nous dirons enfin:

1° Un système de fonctions ou système de diviseurs est l'ensemble d'un

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 53

certain nombre de fonctions faisant partie d'un domaine d'intégrité que nous ficons à l'avance. Chacune de ces fonctions est un élément du système.

2° Une fonction faisant partie d'un domaine d'intégrité donné contient un système de diviseurs lorsqu'elle peut étre représentée par une fonction homogène et linéaire des éléments du système dont les coefficients fassent également partie du domaine d'intégrité considéré.

Ainsi dire que, dans le domaine CIO TER JR -sndt |, 44 fonction Æ' contient le système (f, f, ..., f:), c’est dire que l’on peut mettre Æ' sous la forme

EF = Gif + Lofe + +. + Gifs

Pis Las - -., @: désignant comme #, fi, f:, .…., fx, des fonctions faisant partie du domaine d’intégrité considéré et n'étant pas toutes nulles. Dans cette dernière égalité, ce qui importe, ce sont manifestement les fonctions fs as «.., fx, les éléments du systéme, et non pas les multiplicateurs Pis Pos -., Gx. Pour bien mettre ce fait en évidence, M. KRONECKER se sert d’une notation analogue à celle dont Gauss a fait usage dans les Disquisitiones arithmeticæ et ïl écrit au lieu de l'égalité précédente, simplement

F=o (moddf, f, ...,/f)

ce que nous énoncerons en disant que À" est congru à zéro, suivant Le systéme de fonctions, ou le systéme de diviseurs, (4, fs, ..., f;); ou encore, pour ne pas nous répéter trop souvent et conserver l’analogie avec le cas particulier où l’on considère la congruence F=o (modf), que Æ est congru à zéro suivant le système de modules (f, f,, ..., f;). Aïnsi lorsqu'une fonction faisant partie d'un domaine d’intégrité contient un systéme de modules faisant partie du même domaine, elle est congrue à zéro suivant ce système de modules et réciproquement.

Enfin, rien ne nous empêche d'étendre encore l’idée de contenir à un système de fonctions faisant partie d’un domaine d’intégrité donné. Nous dirons que |

3° Un système de diviseurs contient un autre système de diviseurs lorsque chaque fonction du premier système contient le second système;

4° Lorsque deux systèmes se contiennent réciproquement ils sont équivalents,

D4 J. Molk.

et nous écrirons, lorsqu'un système (Æ,, F,,..., F,) en contient un

autre ANS RE (Fiona MAO NTieeRE )

et. lorsque 1es-deux #syétémes (A, 7,0 SON ES équivalents, |

(F5, Her hrs LE NCN" (2: sas 0 fr):

Cette équivalence représente donc l’ensemble des deux congruences

SN RE M CS nb RS nes 20 Piyo fs. 40 = 'on(modde torse Pre)

ou encore des (4 + %) congruences,

= Ce (OO D a a TE (m1, 2, À) = 0 mod PERS EN, FPT (n=1, 2, 4)

Nous pouvons nous servir du symbole de l’équivalence comme de celui de l'égalité; car il est manifeste que si a D on à aussi b a et que si 1016-00 ONTA AUSSI 0e 0.

Tout ce que nous venons de dire a lieu quel que soit le domaine d'intégrité donné. Rien ne nous empêche, par exemple, de faire déjà les mémes raisonnements sur le domaine [1], c'est à dire sur les nombres entiers. Cependant, pour l'objet que nous avons en vue, ils ne deviennent indispensables que lorsque nous considérons un domaine d’intégrité contenant au moins une variable R. Cela tient à ce que dans le cas où un, système est composé de nombres entiers seulement, tout nombre qui peut être mis sous la forme d’une fonction homogène et linéaire des éléments du système est manifestement un multiple de leur plus grand commun diviseur et que, par suite, tout le système est ainsi entièrement remplacé par ce plus grand commun diviseur. temarquons en passant que cette réduction à la divisibilité telle qu'ellé est conçue généralement, que nous obtenons ainsi dans un cas particulier, légitime aussi l'introduction des systèmes de diviseurs en Algebre. (

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 55

3. La même réduction aurait lieu si nous considérions exclusivement les fonctions d’une variable. Mais ce ne serait point dans la nature des choses. Dans l’arithmétique plus générale que nous obtenons en considérant, dés le début, les fonctions entières à coefficients entiers d’une et de plusieurs variables indépendantes il est indispensable de ne pas laisser de côté les nombres entiers eux-mêmes. Aussi le domaine d'intégrité [HR] contient-il non seulement les fonctions entières à coefficients entiers de la variable , mais encore tous les nombres entiers; on peut considérer ces derniers comme fonctions entières à coefficients entiers de R, ne contenant que la puissance zéro de cette variable. Et alors il est bien évident que tous les entiers qui peuvent étre exprimés en fonction linéaire et homogène d’une série de fonctions entières à coefficients entiers font en quelque sorte partie d’une même famille, car ils ont un caractère commun, et ce caractére ne peut pas être, comme tout à l'heure, simplement donné par le plus grand commun diviseur des fonctions considérées. Ainsi déjà dans un domaine d'intégrité [R], les développements précédents sont indispensables.

Un exemple bien simple éclaircira, peut être, ce que ces considérations générales pourraient avoir laissé d’obscur.

Les deux fonctions

= Ha? +... Hz +:

fon DRE qi LUE Ge

où #% et n désisnent des entiers quelconques, sont premières entre elles, La recherche de leur plus grand commun diviseur nous donne, en cffet,

Lara — FE 2 (k EYr RAS 4 4 A Un 4e m.

Nous pouvons donc écrire

m=O (moddf,,,, f,

fun =O (nmodd f,, m);

6 J. Molk.

il est d’ailleurs manifeste que

f,=0 (moddf,,,, f) et que

fh=0 (moddf,, m).

Nous avons donc deux systèmes équivalents

Li 'ée n) et (Ce M)

et, en effet, chacun de ces systèmes contient bien l’autre, ainsi que lon s'en assure à l’aide des quatre congruences précédentes, L’équivalence

as ee Alert

nous montre clairement que les deux fonctions f,, et f,, quoiqu'étant premieres entre elles, ont cependant quelque chose en commun et le nombre m est un des éléments qui caractérise leur liaison.

L'équivalence précédente nous amène à ‘une remarque bien simple à l'aide de laquelle on pourrait caractériser, dés le début de l’arithmétique, un genre de liaison comme celui des deux fonctions f,, et f,. Introduire en Arithmétique les fonctions d'une variable, à coefficients entiers, c'est considérer toutes les valeurs que prennent ces fonctions lorsque la variable parcourt successivement toute l'échelle des nombres entiers. Pour comparer entre élles deux fonctions d'une variable, il faut donc comparer deux suites d’entiers, les deux suites que l'on obtient en donnant successivement à la variable toutes les valeurs entières possibles et écrivant les entiers correspondants auxquels se réduisent les deux fonctions entières considérées. Il peut alors se présenter plusieurs cas. Ainsi lorsque les entiers correspondants restent toujours sans diviseur commun, le système des deux fonctions est équivalent à l'unité car le plus grand commun diviseur des deux fonctiogs ne peut, dans ce cas, étre différent de l’unité. Au contraire, lorsque l'on rencontre un nombre infini d'entiers correspondants, ayant des diviseurs communs, tous facteurs d’un nombre déterminé #, ce nombre caractérise certainement, en partie du moins, une liaison entre les deux fonctions considérées. C’est ce qui arrive dans l'exemple précédent. Il est inutile d’insister ici sur cette interprétation que l’on pourrait, sans doute, rendre facilement rigoureuse.

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. D

Je voudrais enfin faire une remarque, d’ailleurs bien évidente, sur l'introduction des systèmes de diviseurs en Algèbre. Si, au lieu de dire qu'une fonction contient un système (f, f, ...:, fx) lorsqu'elle peut être mise sous la forme d’une fonction linéaire et homogène de f, f,, ..., fi, nous disions qu'elle contient le système (f, f, ..., f) lorsqu'elle peut être mise sous la forme d’une fonction homogène de f, f,, ..., f,, d'une dimension donnée quelconque, nous n’obtiendrions rien de nouveau; nous ne ferions que nous limiter dans nos recherches, sans pouvoir en tirer aucun profit Et nous devons considérer un ensemble homogène; car, dans le cas contraire, nous aurions un système dans lequel l’un des éléments devrait être égal à l'unité. Mais alors ce système serait contenu dans l'unité et, par suite, dans tous les nombres; il ne servirait donc à rien de l'introduire dans nos recherches. À

4. Après avoir défini l’équivalence, des systèmes de fonctions, il faut encore nous entendre sur la manière dont nous voulons composer ces systèmes; je dirais mulliplier, si ici la notion d'égalité n'était pas remplacée par celle d'équivalence.

Il convient de nommer système composé de deux systèmes donnés, le systeme dont les éléments sont obtenus en multipliant, de toutes les manières possibles, les éléments de l’un des systémes donnés par ceux de l'autre; car le système ainsi formé est, par rapport aux systèmes donnés, ce que le produit de deux fonctions est par rapport à ses facteurs. Nous écrirons donc, par exemple, ;

La méthode à suivre pour résoudre le problème de la composition dé deux et, par suite, de plusieurs systèmes en un seul étant ainsi fixée par définition, le problème inverse s'impose, celui de donner une méthode pour décomposer en plusieurs systènies plus simples, un système quelconque donné. C’est ce problème qui fera l'objet de toutes les recherches contenues dans la seconde moitié de ce Mémoire.

La première recherche se rapportant à la divisibilité des fonctions entières est celle du plus grand commun diviseur de deux fonctions. . Pour suivre une voie analogue à celle du chapitre précédent nous devrons donc, tout d’abord, chercher à voir ce qu'il faut entendre par plus grand commun diviseur de deux systèmes de fonctions,

Acta mathematica. 6. Imprimé 17 Juin 1884, 8

58 J. Molk.

Désiéndns-par, (f; 711.2. Meet, 1442, AU NUEUEEMEÉteIME donnés et formons le système

(hs Pas veus fa)

Il est contenu dans chacun des systèmes donnés, car il est contenu dans chacun de leurs éléments. De plus, si un systéme quelconque (g,, &,, ...) est contenu dans les deux systèmes donnés, nous avons, par définition,

f,=0(modde,, &,, ...) Œ=1,9, m3 mm 42,0)

et, par suite, (f, 1%, VS) 0 Mode FORME

Nous voyons donc aussi que tout système (@,, &,, ...) contenu dans les deuxssystemes {fs ONE ET EU est également contenu dans leur diviseur commun (f#, f, ..., f,). C’est pourquoi nous dirons que (fi, f, ..., f,) est le plus grand commun diviseur des deux systèmes is Hate Net ERP AMEN

Le symbole de M. KRoNECKER présente ainsi un grand avantage; il permet de former immédiatement le plus grand commun diviseur de deux systèmes, en juxtaposant leurs éléments, c’est à dire en écrivant les éléments du second système à la suite de ceux du premier et en réunissant tous ces éléments en un seul système. Et cet avantage n'est contrebalancé par aucun désavantage; car il est parfaitement indifférent que nous ayons, dans le système ainsi formé, un plus grand nombre d’éléments que dans les systèmes donnés; le nombre d'éléments d'un système ne complique, en effet, en rien nos recherches; la nature des systèmes ne dépend pas du nombre d'éléments qui les composent.

Remarquons d’ailleurs que rien ne sera changé dans un système de modules, si nous ajoutons à ses éléments une fonction linéaire et homogéne de quelques-uns d’entre eux; car, si

fa = O(MOÏU TE LEE ER | Œ< mn)

nous avons, par définition,

(hs fortes fan) Ts Pos ces fn)

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 59.

nous pouvons donc ajouter aux éléments fi, f, ..., f,, l'élément f,,;, ou retrancher des éléments fi, fi, ..., fi41, ce même élément f,,:.

Ce que nous venons de dire du plus grand commun diviseur de deux systèmes, s'étend immédiatement au plus grand commun diviseur d'un nombre quelconque de systèmes.

Si f = gif <e (3 on à (Sr Se a 3 Mt /atu E

Une remarque intéressante et bien facile à vérifier, est que le procédé de réduction d’un système, dont nous venons de donner un exemple, nous donne, appliqué aux nombres et répété un nombre suffisant de fois, précisément l'algorithme d'EvcLipE. k

Nous pouvons résumer les recherches de ce paragraphe en disant que nous arrivons à la même généralisation de l’idée de contenant et de contenu, que nous nous placions au point de vue de la géométrie ou à celui de l’arithmétique, à condition, toutefois, de tenir compte, dans le premier cas, de la nature des coefficients des fonctions entières considérées. Dans le second cas, cette condition est inutile; il est, en outre, d'autant plus important qu'il se rapporte directement à la fonction elle-même, et non pas à cette fonction égalée à zéro. L'exemple du système (f,,, f,) que nous avons donné, nous montre que la géométrie est certainement insuffisante dans nos théories algébriques. Le système (f,, = 0, f, — 0) n’est en effet susceptible d'aucune interprétation géométrique.