II Ô, (2; D

qui est une fonction entiere de z, dont les coefficients font partie du domaine naturel de rationalité (f, R”’, ..., R°), nous voyons que ce

produit est un facteur de la fonction entière

(2) dont les coefficients

font partie du même domaine, et nous avons

À V.(:)=0 [mod [ 4, (z; P)]:

D'autre part, de l'égalité

0,(25 px) = D(25 où) Vie) + (as D) Fe + Up: pi) qui à lieu pour 4 — 1, 2, ..., À, nous déduisons la congruence

À À LL 6(2; 1) = LT #5 01) LT Fe + mp3 ps) [mod P,(2)]

; À n et comme II F(2 + w9,; p;) est égal au produit I V,(2), nous avons aussi k=1 : i=1

À IL 6, (:; Pr) = © [mod V,(2)].

Des deux congruences démontrées résulte légalité

V,(2) = IT 8,2; o)).

Nous avons donc décomposé la fonction V(2), irréductible dans le domaine naturel de rationalité (HR, HR”, ..., HR), en À facteurs, en adjoïgnant à ce

domaine une fonction algébrique », d'ordre À, et ses conjuguées,

46 | J. Molk.

Si 0e; où) = Dv[V,(e); Fe + wo; p)]

nous obtenons, de méme, l'égalité

V(e) = ITA, p).

Comme ceci a lieu pour k = 1, 2, ..., n, nous avons aussi

HF(e + 0:53 x) = IT (2) = IL IL 0 n(25 pu).

Considérons maintenant le produit

Comme is 0,(e; Pa) a ®,(z; Pa) V, (2) + p',(2; Pa) F(2 + 0; Pà)

et que

il est évident que nous avons la congruence

I 0,(2; px) =0 [mod F(2+ 09,5 pa)].

Ecrivons IL 6, (2; Lx) = Q(z; px) F(e + Upr; Pa);

il en résulte immédiatement, ñn À

IL IL 0, (2: 1) = Il QG; 01) I F(e + up: pi)

d'ou, à cause de l'égalité que nous venons de démontrer,