STE
Résultant pris suivant un module déterminé.
Nous allons maintenant aborder un tout autre ordre de quéstions et étudier l'algorithme du plus grand commun diviseur, en ne considérant les fonctions entières d'une variable x, que suivant un module
60 J. Molk.
PR, Rte, RP): M, R”, . . NRA, "désisnanteles “éléments tdmnndo: maine d’intégrité donné. Nous développerons cette théorie plus que cela ne serait nécessaire pour résoudre les problèmes proposés dans les paragraphes suivants, parce qu'elle fait partie de la théorie élémentaire des congruences, et permet de simplifier considérablement plusieurs recherches arithmétiques.
Supposons d'abord que le domaine d'intégrité soit |[1, et que le module soit simplement un nombre premier p.
Soient alors deux fonctions entières à coefficients entiers f(x) et f(x) non congrues à zéro suivant le module p; nous réduisons leurs coefficients à leur plus petit reste, suivant ce module. Si alors &, est le cocfficient de la plus haute puissance de x, dans f(x), on peut toujours déterminer un nombre 4, tel que la congruence @&a, = 1 (inodyp) soit vérifiée. En divisant f(x) par æ&/,(x) nous obtenons comme quotient une fonction entière à coefficients entiers que nous nommons g,(æ), après avoir réduit ses coefficients suivant le module p; nous réduisons également, suivant ce méme module, les coefficients du reste de la division, et nous obtenons alors une fonction entière que nous désignons par — f(x). Nous établissons ainsi la congruence
f(x) — a,9,(x) f(x) + f(x) = 0 (mod p).
En opérant, de même, avec f(x) et f,(x), etc. nous obtenons une suite de congTruences,
fat) — gift) f(x) + fixe) = 0 (modp) a=23,.,»-1 fi (e) — 2,9 (2) (x) =0 (mod y)
où f(x) est une fonction entiere de x, à coefficients entiers, qui peut
et enfin
se réduire à un nombre.
Ces congruences sont tout à fait analogues aux égalités de l’algorithme d'Eucrine; elles n'en différent qu'en ce que le signe d'égalité y est remplacé par celui de congruence. Nous en tirons donc immédiatement les trois congruences caractéristiques
A=4f, (mod?) fa = Of, (mod p) = SÇiñ + Lots (mod p)
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 61 que nous pouvons aussi écrire f.=0(moddf,, p) f, = 0 (moddf,, p) f, = 0 (moddf,, f,,-p).
Les deux premieres congruences nous donnent
(fs 2) = 0 (moddf,, p).
Le systéme (f, f,) contient donc le systéme (f, p). Ici encore on aperçoit clairement l’analogie avec la divisibilité par f,, de f, et de f,, divisibilité © que nous pouvons déduire des deux premiéres égalités caractéristiques de l'algorithme d'Evcrine hi = Gif; f = Of.
De la troisième égalité de cet algorithme nous avons déduit une des deux méthodes qui permettent de former le résultant À de deux fonctions enticres, et nous avons démontré que la condition
RTtbheto
était nécessaire ct suffisante pour que les deux fonctions f ct f, aient un diviseur commun, dans le cas où f, — 1. Nous allons généraliser ce théoreme.
Le résultant de deux fonctions étant une fonction homogène et linéaire de ces deux fonctions, nous avons
R(f, fs) =0 (moddf, f)
et, par suite, d'apres une remarque faite plus haut,
hs 5 Rs P) © is ho)
Ceci posé, supposons que la congruence ÆR(f,, f,)=0 (mod p) n'ait pas lieu. Si p désigne un nombre premier, À et p n'auront alors aucun diviseur commun, et nous aurons, par suite, (À, p) — 1. Il en résulte immédiatement
(f; ask; ») 17 (fi {23 1) TR
Mais (fi, fa he) es (fs f); donc (f,.f, p) 7 1. Comme (fs fa ») est le plus grand commun diviseur des deux systèmes (7, p) et (f, p), nous avons enfin l’équivalence
Dvi(ñ; p); (Rs p)] © 1.
Ainsi, si la congruence Æ(f,, f,) = 0 (mod p) n'a pas lieu, les deux systèmes n'ont aucun diviseur commun.
Le résultat que nous venons d'obtenir nous montre que si les deux systèmes considérés ont un diviseur commun, il faut que le résultant R(f, f2) soit congru à zéro, suivant le module p.
En voici un exemple: Le système (x + 3, 7) est contenu dans le systéme (x° + x + 1, 7). On a, en effet,
(+ Eu, 7) or F3 7x 0)
Le résultant des deux fonctions (2° + x + 1) et (x + 3) est d’ailleurs égal à 7; on a donc bien À = 0 (mod 7).
Réciproquement, si les deux systèmes (/,, p) et (f, p), où nous désignerons par 4 et f les coefficients des deux fonctions entières f,(æ) et
f(x), n'ont point de diviseur commun, la congruence Æ(f,, f;) =0 (mod p) ne saurait avoir lieu. En effet, dans cette hypothèse, comme
Dvf(s »): (fn D] (fs fa D) nous avons l’équivalence (As Rs P) T2 ou encore la congruence ci(x)fi(x) + e,(x)f(x) = 1 (mod p).
Cette congruence est vérifiée identiquement, par rapport à x; nous pouvons donc écrire, en désignant par , une indéterminée,
Citu) flux) + got) fu) = 1 (mod p).
Nous prendrons pour k toutes les valeurs entières depuis 1 jusqu’à (m + n)
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 63
si » et » indiquent les degrés de f(x) et de f(x); par rapport à #. Si alors, nous définissons P,(x) et P,(x) par les congruences
P(x) = IL (x — w,) (mod p)
P,(x)= IT (x — «;,) (mod p)
h=m+1 nous obtenons facilement la congruence
LL {eg (ans) fi (ur) — pu) P;(u) + (4) 6 (au), = 1 (mod p);
le raisonnement est tout à fait celui du paragraphe 2 du chapitre pré- CHU RO trailer me 0 Qe désignent les fonctions symétriques élémentaires OT Un cCtAli: Oise % NSIRLES AS CRUE SP RO RU congruence précédente peut être mise sous la forme
II m
ÏI Le (a) Re Le (a, — fur! + ou) (u)l= 1 (mod p)
ou encore,.en posant, comme dans le paragraphe cité,
IL, (4) 1@ R(; fs ces fus Pis Pos ce. BP)
et
| IL gs(u) = SC, fr .., fu), R(f,,f Fer OUEN) 1: Fe Pa) QE Ba) SCT LRETOR fo) — | (modd P; so CICR. An — Îyn)-
Cette congruence est vérifiée identiquement en %,, &, ..., u,, donc en
Un Ro nrs élle a édonorwlieu,: pour. Dita; fe ir. vs # + dt-et comme la valeur de S(x, @, ..., a,) est finie, il est impossible que la
congruence
R(o; Hay + Ans Bis Pa .. BJ= 0 (mod p)
soit vérifiée. On démontre, comme dans le paragraphe cité, l'identité des deux fonctions À que nous venons de définir; on peut alors énoncer le théorème suivant: 4
»La condition R(f, f:) = 0 (mod p) est nécessaire et suffisante pour que les deux systèmes (f., p) et (f,, p) aient un diviseur commun, et cela quelle que soit la nature particulière des deux fonctions entières de x, fi(x) et f(x), que nous considérons.» | F
Dans le cas particulier où le résultant des deux fonctions f(x) et f(x) est précisément égal au nombre premier p, nous avons aussi
p=0 (modd f, f2).
Mais alors, au lieu de {= 0 (modd fi, f,, p), nous pouvons écrire simplement f, = 0 (modd f, f,), et comme
(fi, R)=0 (modd f,, p)
nous obtenons l'équivalence
CAC
Le cas plus général où le module ne se réduit pas à un nombre. premier p, mais est une fonction irréductible #’(H’) d’une variable-indéterminée #’, dont les coefficients font partie du domaine naturel de rationalité (R”’, ..., R), le coefficient de la plus haute puissance étant égal à l'unité, peut être traité de la méme manière, lorsque les coefficients de la plus haute puissance de chacune des deux fonctions de x, f(x) et f(x), sont congrus à l'unité, suivant le module #{$). Mais il ne faut pas oublier que nous privilégions ainsi l’une des variables-indéterminées du domaine d’intégrité donné; nous pouvons donc seulement dire que le système (f, f) contient le système (f, #°) relativement à l'une des indéterminées #’ du domaine d'intégrité. Dans ce même sens restreint nous pouvons également énoncer le théorème:
»La congruence R(f,, f,) =0 (mod #°)}, où À désigne le résultant des deux fonctions enticres f, et f, pris par rapport à x, est nécessaire et suffisante pour que les deux systèmes (f, #) et (f, 4) aient un diviseur commun.»
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 65
Ÿ 3- Application des systèmes de modules à la décomposition d’une
fonction entière dans un domaine général de rationalité.
1. L'emploi des systèmes de modules nous permet d'effectuer, plus facilement, la décomposition d’une fonction entiére dont les coefficients font partie d’un domaine général de rationalité, sans introduire dans nos recherches l’idée de nombre et fonction algébrique. C’est ce que je vais essayer de faire voir dans ce paragraphe.
En reprenant ainsi, sous une autre forme, les recherches du dernier paragraphe du chapitre précédent et en montrant comment elles se traduisent à l'aide des nouveaux symboles, mon but est, surtout, de mettre en évidence, par un exemple, d’une part le rôle important que jouent actuellement dans les recherches d'Algébre, les fonctions algébriques, les grandes simplifications que l'emploi de ces fonctions peut apporter dans le mécanisme d’une démonstration, et, d'autre part, la méthode à suivre pour éviter précisément l'emploi de ces fonctions. La complication de cette méthode n’est qu'apparente et ne porte que sur le mécanisme de la démonstration; loin de rendre la démonstration elle-même plus difficile, elle nous fait, au contraire, apercevoir plus clairement le lien entre les hypothèses que nous faisons et le résultat qui en découle, entre notre point de départ et notre point d'arrivée; et seule, elle mérite le nom de méthode algébrique, car, seule, elle se meut dans le domaine particulier à l’Algébre.
Je commencerai par formuler, à l'aide de notre nouvelle terminologie, le problème proposé d'une manière qui diffère un peu de celle du chapitre précédent. Dans ce problème, les éléments d'un domaine de rationalité (N', À”, ..., N°?) sont supposés liés par wre relation algébrique AN, R’, ..., N°) = o. Nous pouvons supposer que la fonction entière 4" soit irréductible, car nous savons décomposer, en ses facteurs irréductibles, toute fonction faisant partie d’un domaine naturel de rationalité.
Acta mathematica. 6. Imprimé 18 Juin 1884, 9
H s'agit de décomposer, si possible, une fonction entière de z, F(z2) dont les coefficients font partie du domaine (', R”, ..., N°) ainsi limité par la relation # = o, c’est à dire de mettre F(z2) sous la forme d’un produit de deux ou plusieurs fonctions de z dont les coefficients fassent également partie du domaine (H, R”, ..., N°”) limité par la même relation —o. Lx.
Dire que F(z) contient une fonction F,(2), tandis que #’, HR”, ..., R°”, sont liés par l'équation W°= 0, c’est donc dire que F(z) est congru au produit de Æ,(z) et d’une autre fonction entière de z, suivant le module J', ou, en d’autres termes, c’est dire que Æ(2) est congru à zéro suivant le système de modules [F(2), 4. La divisibilité des fonctions entières, dans un domaine général de rationalité, revient ainsi à la décomposition des fonctions entières à coefficients faisant partie d'un domaine naturel de rationalité, en systèmes de diviseurs dont l’un des éléments, commun à tous les systèmes, est connu et ne renferme pas la variable indépendante z, ou encore, à décomposer dans un domaine naturel de rationalité, un systéme donné [F{z), 4] en d’autres systèmes contenant chacun l’élément 4". C'est ce problème de la décomposition des systèmes dans un cas trés-particulier, que je veux étudier dans ce paragraphe.
À cet effet, je suivrai une voie analogue à celle du dernier paragraphe du chapitre précédent, et, conservant les mêmes notations, je démontrerai d'abord que les entiers désignés par w, (page 43) sont nécessairement égaux à l'unité, ou, ce qui revient au même, que le résultant, par rapport à 2, du résultant, par rapport à HN’, des deux fonctions }° et 4", et de la dérivée, par rapport à z, de ce résultant, diffère nécessairement de zéro. Je rappelle que, dans la fonction F, le coefficient de la plus haute puissance de z et, dans la fonction #', le coefficient de la plus baute puissance de %’, sont supposés égaux à l'unité, et que, de plus, F(z) peut toujours sans restriction aucune, être supposée fonction entière de z et de À’ sans diviseur commun avec sa dérivée prise par rapport à z, F’(z2), tandis que est fonction entière de $’ seulement,
