DR) = R" + GR

les coefficients de Æ et de Ÿ' sont fonctions rationnelles des variablesindéterminées R°”7, }°”’, ..., N°.

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 67

Soit S — R(z; R”, ..., R‘*) le résultant, par rapport à À’, des deux fonctions ;

Fa HER: N..., NA) et PR: R', ..., N°)

t étant une indétermimée. D’après ce que j'ai exposé sur le résultant de deux fonctions entières, Si gi, gs, -.., , désignent les fonctions symétriques élémentaires des indéterminées v,, 0, ..., v,, et si la fonction symétrique de ces indéterminées

LF( ÉLUS Ann

transformée en une fonction entiere de gi, des ..., @, est égale à

D(z, DCS de te Mit 8, R‘?),

on «a De D(e, l, di; Pa CCS F, Da; HN 1.0 Re}:

et, si la fonction symétrique de w,, vw, ..+, v,, ñn

Fe + tu; 0) TT pr, TPS » F(2 à et Lie CE rF* Lv,; vy)

transformée en une fonction entiere de 2, #, Qu, Qos +, Qu, est égale à

®(z, d, (1 (2) ARS Qu)

on a-aussi PPT De, t, di, Pas ve.) Da).

Pour abréger je n'ai plus écrit les éléments R”, R”, ..., N°, qui ne seront pas transformés dans le courant de la démonstration.

Formons maintenant le résultant, par rapport à +, des deux fonctions

S' et LE, Il ést égal à

T(, D; D) QT g)

68 ÿ J. Molk.

si nous désignons par T'(6, qi; @e «+, Q,) le résultant, par rapport à 3, des deux fonctions

Diet -g15 mt REED A ER PEN Re CCR

Ce qu'il faut démontrer, c’est que TE, 9, gs, ..., g,) est différent de zéro. En appliquant plusieurs fois les identités

R(ab, cj=1R(a; ce) R (0,0) R(a + b, b) — Ra, b)

qui découlent immédiatement de la définition même du résultant de deux fonctions entières, nous pouvons écrire

LR ; ñ . ñn F'(e " tv. v) ñ Da T(E3 Qus 23 +. Qu) = Fe+t0, V3 2 ta a TON D (2+ tv, s)

TTrlre tv, DY ec Le VTT pa + 0, »)} h=1 | r |

ue Fa + vi, vi) 21

15 AU dat rt 0 = (2 + dv, Ua); OT " ne (2+ tu, o)|

An II À (F2 +do,0); fe Euv, v)} R|F(2+iv,, v); Il F(z+iv,, )

(&=1, 2, .... (i—1), (+1), sn)

— IL RIF(2+t0,, v,); F'(2+ te, )} IL RIF(+ tv, Un); F(e+ iv, dj}

h=1 let sens à ne test 6 (ae A) &=1, 2, .…., (1), (441), :) Il suffit donc de démontrer que chacun des deux produits

ILR(F( #r Évr, Un)3 F” (z Fr tv, U)} et

IT R{F(2 sa tv, v); F(2 Te v)) (462 SEPT RCE) FAIT. 4

est différent de zéro lorsqu'on y remplace les fonctions symétriques élémentaires gi; es. 9, par les coefficients d,, d,, :.., d, de la fonction Y{R').

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 09

o ° 4 , Ÿ h' Comme, par hypothèse, les deux fonctions Æ(2, }') ct 1E Cp)

n'ont point de diviseur commun et comme £{ est une indéterminée, les deux fonctions F(x, N) et F'(x, À’), où x = 2 + {N/, n'auront également pas de diviseur commun; nous pouvons donc appliquer à ces deux fonctions les raisonnements du paragraphe 2 du chapitre précédent, et, en conservant les mêmes notations, établir l'égalité,

IL {0 Qu, RPG, R)— Du, R)PGus R) + Ds MIE ns RL Cette égalité a lieu pour À = v,, 2, ..., v,; nous avons donc aussi

IL ou, v) Elu, 0) — du, v) PQ, 0) + Tu, v) Eu, d)} = 1

(A, &) D , FRS LE ECRS “|

et, par suite, en posant,

F(x, dy) 2 x" + CE ro 1 + ab ei Se À + (— pa AT, 20)

P(x, v) x" TR ER TEE + PT ro D 1e (— pe AID on) Hd Vus, Vs) F4 (y Up). +1 [mod (aff), (aff), 2. (a? fa), (a? — FP) ee, (ai — fu)

Soient maintenant

IT Fu, 0) = (os F, E, .…., FO) et

IL P'Qu, v) = Su #7, F7, ..., fo);

nous savons alors que R(v,; af, af, .:., a%) est bien le résultant des deux fonctions F(x, v,) et F'(x, v,) En désignant les fonctions entières

debgis gube 0

: 1 RC NES LA et HSE En fe,

70 J. Molk.

respectivement par

a) gt) De, (n) U(g:; Q2s ++. Os roule -NHEURS 27 mn

V(g:; 2 "are » a FE Ab ‘à TS va LR 1-7 pa

et en substituant ces expressions dans la congruence précédente, nous avons

aussi,

U(g:, Q2> ++. us FR LU + 74 0 Vi» £ Droit » 0e fo D FR, m)= : [modd (af — F0), (a —f hs 00 el

Si dans cette congruence nous substituons aux indéterminées ff, F5), …, fo, les coefficients a”, af, …, a des fonctions F(x, v.), F{x, v,), .…, F{x,,) considérées comme Ana de x seulement, elle aura toujours lieu. D'ailleurs, comme pour à — 1, 2, ..., m, les deux fonctions

() (n) (1) (n) U(g:; Us es ns Ai 5 +. ao et V1 Q2s see. nus À » +...) ai)

(ns (n)

sont fonctions symétriques de af”, étre transformées en fonctions entres de mM7:%:5 «+, ane contenant

., aÿ”, ces deux fonctions peuvent plus explicitement les indéterminées v,, 2%, ..., v,. La congruence que nous venons d'écrire est vérifiée identiquement en g;, %;, ..., 9,3 elle est donc encore vérifiée si, après la transformation indiquée, nous substituons aux indéterminées g;, g, ..., g, les coefficients #,, gd, ..., d, de la fonction #{#').

Nous avons donc enfin

T (1) (1) n) ) U({, D; ….s y; A1 5 A2 5 +. a) V(d., Da .……, UE A as” > ai) À |

et comme ‘la foncüionsentière MP {d,,00,, 2,00 Ra et, GR

peut être infinie, la fonction U(,, d,, ..., d,, a, af, ..., an) est certainement différente de zéro.

Mais la fonction U(d,, d,, ..., d,, af”, af, ..., a) représente précisément le premier des deux facteurs de la fonction T(t; d,, …, d,) que nous considérons; ainsi, nous avons démontré que le produit

IL RIT à ne AR Va); Æ"(e F1 ÉUys vs)

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 71

est nécessairement différent de zéro lorsqu'on y remplace les fonctions symétriques élémentaires g:, g, ..., g, par les coefficients 4, d,,..., @, de la fonction #(%).