Pour démontrer que le double produit

HRIF(e + év,, 0); Fe + in, v)l (rss )

est également différent de zéro on a besoin du théorème auxiliaire suivant. »Les deux formes

mn

n t Gi IL {as + at +... + GUer| me Pr : k=0

ñn ee (A) (4) (2) D = IL {a® + a, + + ar)

OÙ #, di, l, ..., t, désignent des indéterminées et les af” des quantités quelconques, sont liées par une équation algébrique

HET EC eo PSS 2 0e NE SE ES

dans laquelle F, (k — 1, 2, ..., ») est une fonction homogène des seules

quantités fo, fs +.) de dimension k°"°,»

mn

Voici comment on démontre simplement ce théorème: (”) Soient v,, Vis «ee; Vans MN indéterminées. Posons

RL EU) = FE fé LEE fe D Gard an

(i) et

go ÎT (1 + dat) = 9 + gf6 + ge +... + go" Ce, =mh 41, mA, M(A4)]

pour k — 1, 2,..., n, et considérons l'expression

Go = IL {of + 9%, + of + + gt ets ann)

() Comparez KRONEOKER, Sitzungsberichte der Berliner Akademie, 20 Juillet 1883.

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que nous pouvons aussi mettre sous la forme

=mh+1,mh+2,.……, 8! vb

Re. ) (1),,(2) (x) ki Er lus Qx Ok, dard Or, Ugo En * ( h=0, 1,2, (n—1)

(ns Los En)

En examinant les coefficients gf?gf ...gf” de cette forme, nous voyons de suite qu'ils sont fonctions entières des indéterminées #,, %,, ..., 0 et ne sont que linéaires par rapport à chacune de ces indéterminées. Si nous permutons ,, Us +. Umn de toutes les manières possibles la fonction G, se change en un certain nombre de fonctions différentes que nous désignerons par G,, G,..., G,; chacune de ces fonctions a, comme coefficients, des fonctions entières de v,, %,, ..., 0, linéaires par rapport

à Di À Us ce. À On Si done nous développons le produit [[(G—G.) r=0

) mn ?

I(G—G)= GRO +RPT—... EG, vor.

@) la fonction symétrique %, sera une fonction homogène entière à coefficients entiers des indéterminées f,, f, ..., fm, et sa dimension sera évale à k.

Nous aurons ainsi