GRO + BA — + F
et comme cette relation a lieu identiquement en ,, %, ..., 0m, elle a encore lieu lorsque l'on substitue aux indéterminées gf”, 9°”, ..., g%, les quantités données af”, af”, ..., a%, ce qui change G, en. ®; mais alors il faut aussi substituer à f;, f; .L-.01), dés quantités (Ge Jen Net le théoréme est démontré. |
3. Supposons maintenant que lorsqu'on remplace les indéterminées Qosidas ere Do PAL DA si HedoubleSDrodre |
IL R{F( n lv, , Un); F(2 . (D: U3)} (rs
(, #) soit nul. Il en serait alors de même du double produit A ÉR
IT R,{F(x, v,); F[x + tv, — ), v;]| ( +
dans lequel nous avons posé x — 2 + {v,, le résultant étant formé par rapport à #. Mais alors, aprés avoir remplacé les indéterminées
. ARE \ . , ts . £ Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 73
Qu. Us --. ga. par les quantités données d,, d,, ..., d,, nous aurions
aussi l'égalité .
IL RE (x, v,); Fe, 0) + tu —v,)L'(x, 0) + ... + d"(v, — vy)"| "0
(4, #) RIRE ’) ( KE k
ou encore, en introduisant, comme dans la premiére partie de notre démonstration, pour k — 1, 2, ..., n, les fonctions auxiliaires
PE U;) nn Il (x 132 ue? — p — be cd + TC Re + (re
TE {Au 00) + (eu — 0), 0) + 22e + ne — n°} — 0
CHE) LAS on Cr Re ln DS sers 7 ) RE > à condition de remplacer, pour # — 1, 2, ..., n, dans la fonction entière dé f}, fÿ, ..., 9 qui représente le terme de-gauche de cette égalité, les Indétérminéeemnt fe... #7 1%, parles coefficients. a”, af), ..., a, de l'(x, v,) considérée comme fonction de x seulement, puis, après avoir ‘transformé la fonction symétrique de v,, &,, ..., v,, ainsi obtenue, en une fonction entière de gi, ge, .:.., 9, de remplacer les indéterminées Mn, (epar les quantités données :d, ; 9, ..1"d. Ordonnons ce produit par rapport à l’indéterminée #; tous les coefficients seront nuls. D’après le théorème auxiliaire que nous venons de
démontrer, une puissance entière du produit
Ci, i, k) h=k
=, 20 m LL EFQuf”, 0) + afos — 0) Fu, 0) + + os — 0)" (una)
sera également nulle; donc aussi ce produit lui-même. Posons, pour abréger, : ’
dy, (Or Th Un) = V3, &
et introduisons de nouvelles indéterminées w,, comme coefficients des expressions Z(uf”, v,); nous aurons alors
21,2, TN II Eu, x (ui use y à) + w4 à Eu, Vs) + . . + Wei 212 Vi. — O (u A LEP Orne C |
Acta mathematica. 6, Tmprimé 19 Juin 1884. 10
7A J. Molk.
ou encore, en écrivant
41,201 Es Lo à \ h=X
LR, 2h IL AU Eu, o) + wa: 2" (0), vo)! + 1 = 0. Quinn mn) Ci, hAZ#
Comme ! est une fonction entière de d,, d,, ..., d,, ne contenant plus les indéterminées auxiliaires « et v, et que chacun des termes de / contient au moins une des indéterminées w,, à une puissance plus élevée que la première, il faut que nous ayons séparément
f—=1,2,..:,m IT Fu, 0), + a 7 (= 'o «et 0; (» ciinr)
Ainsi, nous avons démontré que si le double produit
. [0 , HRIF( + év,, v); Fa +in, v)] est nul, pour # indéterminée, les deux dernicres égalités sont vérifiées identiquement dans les indéterminées
À (RS AENS 2; om
W,, k et U», Fe ( AZk )
Mais, d'autre part, il est facile de donner à ces indéterminées w,,
et w, des valeurs particulières pour lesquelles la dernière égalité n’est pas vérifiée. Nous avons, en effet, vu tout à l'heure que le produit
IT RIF(r, ü), F'(x,70,))
était différent de zéro. Comme l'égalité
RAF (2); F(2)} = F(2)F(z) + F(2) F2)
que l’on peut établir quelle que soit Z(+), est vérifiée identiquement en 2, nous pouvons aussi dire que le produit
IL1Z (UP, 0) Fu, o) HA (a, to) Fu, 00,1
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 19
et, par suite, que le triple produit
UE PE IT {7 (ut, 0) F(uf, v) + F(uf, o,) MO EE,) | (uns) CH nZk / est différent de zéro.
Si donc nous remplaçons les indéterminées w,, et w,, par les fonctions (ui), v,) et Æ,(uf”, v,), la fonction symétrique des w ct des v,
a, (0 Ja Lu, à Æ PQui”, 0) + a01,: Eu”, Vs)} dans laquelle -on remplace les fonctions symétriques élémentaires de uŸ”, us”, ..., u® par les coefficients de F{x, v,), considérée comme foncuon de Z seulement, Puis: gi; gas +. <; M par di, di, ..., d,, est diftérente de zéro. Elle ne saurait donc étre nulle pour des w,, et w,, in-
déterminées, et, par suite, le second facteur du résultant
Di bi; Da SAR D)
n'est pas nul non plus.
Cette recherche est nouvelle. Elle offre un exemple frappant de l'avantage qu'il y a à se servir de méthodes naturelles, sans introduire aucun élément étranger au domaine dans lequel on se meut. C'est, en effet, l'impossibilité dans laquelle je me suis trouvé, de démontrer que le résultant TE, D, d,, ..., d,) est différent de zéro, sans supposer l’existence des racines des équations alsébriques, et à l’aide de la généralisation des idées de contenant et de contenu donnée au début de ce chapitre, qui a amené M. KRONECKER à généraliser d'avantage encore les idées de contenant et de contenu (') en découvrant le théorème auxiliaire (*) nécessaire à notre démonstration, théorème qui, en réalité, est fondamental en Algébre.
4. Il est maïntenant facile de décomposer, dans un domaine naturel de rationalité, un système donné [7(2), #4] en d'autres systèmes contenant chacun l'élément 4. |
(") Sitzungsberichte der Berliner Akademie. Séance du 26 Juillet 1883. (*) Page 71 de ce Mémoire.
76 J. Molk.
En effet, (*) nous venons de voir que le résultant D(z; d, di; D, ‘Ets? bi)
qui est entiérement équivalent au système donné, n’a point de facteurs doubles pour £ indéterminée; nous pouvons donc toujours remplacer £ par une quantité & telle que
D(z; a; PE (UE Ch > gs)
n'ait point de facteurs doubles. Décomposons cette fonction entière de z en ses facteurs irréductibles, dans le domaine naturel de rationalité (R”, Jia Ci IE à JO, } R°) et soit
D(2) = Vi(a)Pa(e) .… V6).
Comme (2) est congru à zéro suivant le système de modules [7(2), #] nous avons manifestement l’équivalence
y CE), FT [FE (e, #, HP, (2)]1.
D'autre part, si nous composons les deux systèmes
LC), , D] & LFG) #, (a)
1] vient
on LACET,
pe RER Te LL —" # POS [A sr” "1 + IS Eee | LR RP” Fe pe el rar LE ar UE.
è SE = a+ SS PT tù DR DE = es SR.
te Sr:
S Pre Ce A a)
ou, comime RE V,) Ro Ci 4=T, 8, .,% 12H)
CF(e), #, HG), #, Ve) © CZ(e), #, d(e)].
(”) Cette dernière partie de la démonstration a été donnée par M. KRONECKER dans son Cours de 1883.
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 17
Ainsi nous avons démontré l’'équivalence y—]
LP), 9) [F(a, #, DPF), #, (2)
en isolant, en quelque sorte, le facteur VF
ductibles de d(z).
Nous obtenons de même
(2) des autres facteurs irré-
tel y—2
CF), #, HG), M, MPG), #, Ve ()]
en isolant le facteur W,,(2), et en répétant la méme opération » fois, nous avons enfin
LC), M] LLF), F, VI.
Formons maintenant le plus grand commun diviseur, suivant le module 4", des deux fonctions Æ(z) et V,(z). D'apres ce que nous avons montré dans le paragraphe précédent nous aurons à la fois, en désignant par D,(2) ce plus grand commun diviseur, les trois congruences,
D,(e)=0o [moddÆ(2), V2), #] V,(2) = 0 [modd #', D,(2)] F(2)=0 [modd Y', D,(2)]
-d'où il résulte que. l’équivalence
CP, Die) CE (Ge), Vie), #]
est vérifiée. Mais nous venons de voir que y EF), 8] LECF(e), Pie), #7; donc nous avons démontré l'équivalence
Léa), #1 LL, D (a).
78 L J. Molk.
Les fonctions entiéres D,(:) sont premieres entre elles; car si D,(2) et D,(2) avaient un diviseur commun, il en serait de même de V,(2) et V,(2) contrairement à l'hypothèse. En effectuant la composition indiquée dans le terme de droite de l’équivalence précédente, et en tenant compte de la relation | [D,(2), D,(2)] 24 | (LES, DUR
nous avons successivement
C4, D,(2)109, DC) CF, DC), FD,(), D,(e)2,(2)]- CF, 2, (e)D,()] C4’, D, (2)D,(G)I04, D,(2)]- CF, FD,()D,(), D,(e), D,(2)2,(2)2,(2)]
TC, D,(2)D,(e)D,(2)]
ÿ—1 > ; 44 Cr, HD (T#", D,(]-1#, WILD, (2), WD,(2), ID (= [#, I D(2)] ce qui nous donne
II(#, D(2))—[#, IT D, (2)] et, par suite, [ 4, 1 D, (2)] FN EF (2), 4].
Nous avons. ainsi trouvé la décomposition du systeme donné [Æ(2), #']. Il est facile d'en déduire celle de la fonction Z(2) dans le domaine général de rationalité considéré. En effet, de l'équivalence précédente nous déduisons l1 congruence
F(2) = 0 [modd #, Il D,(2)]
ou encore l'égalité
Mais Y(N, R”, ..., N°) —o caractérise notre domaine général de rationalité. Nous avons donc, dans ce domaine,
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 79
y D'autre part, le produit IT D, est congru à zéro suivant le systéme de k=1
modules [#(2), #7]; comme #’ — o, il en résulte l'égalité I D,(2) — a(a) Fa).
Ainsi Q(z)q(z) — 1; Q(z) et qg(z) sont donc indépendants de z, et comme le coefficient de la plus haute puissance de z, dans Z(2), est supposé égal à l'unité, Q — 1. Chacune des fonctions D,(2) est d'ailleurs irréductible dans le domaine considéré; en effet si nous avions
D,(2) = »(2)4(2) (mod #) comme |
V,(z)= 0 [modd #, D,(z)] il en résulterait
V,(z) = a(z)m(z)&(z) (mod #)
et la fonction V,(2) serait elle-même réductible, contrairement à l'hypothése. Le probléme proposé est ainsi résolu sans l'emploi des nombres et fonctions algébriques.
CHArITRE IV.
Décomposition des systèmes de diviseurs.
AN
Cas particulier de deux variables.
1. Nous venons de voir comment, dans un cas trés-particulier, on peut décomposer les systèmes de diviseurs en systèmes plus simples. Nous
80 J. Molk.
allons maintenant chercher à étudier la décomposition des systémes de diviseurs dans le cas général. A cet effet, et pour nous rendre compte de la méthode à suivre, nous commencerons' par considérer le cas le plus simple, celui d’un système de deux fonctions de deux variables,
Soient donc (x, y) et (x, y) deux fonctions entières des variables æ et y dont les coefficients fassent partie d’un domaine de rationalité (R, R, ..., N°). Si F{x, y) et G{(x, y) ont'un diviseur commun ÆH{x;4) et si (x, y) = H(c; y) D y CG, y NE PE Eu) ETOUE pouvons remplacer le système [Z'(x, y), G(x, y)] par le produit équivalent Hx, y)[D(x, y), Vx, y)]. Nous savons former le plus grand commun diviseur de deux fonctions entières; si donc Z{(x, y) désigne le plus grand commun diviseur des deux fonctions Z(x, y) et G{x, y), il ne nous reste plus qu'a décomposer un système dont les deux éléments n'ont aucun diviseur commun.
Remarquons que les systèmes (£, 7) communs à (x, y) —o et G{x, y) — 0, sont d'abord ceux pour lesquels la fonction Æ(x, y) s'annule; ils forment une variété d'ordre un; ce sont ensuite ceux qui annulent à la fois (x, y) et '(x, y); ils sont isolés En déterminant le facteur H(x, y) du système [Z{(x, y), G(x, y)] nous avons donc déterminé la variété d'ordre un, commune aux deux fonctions Z'(x, y) et G(x, y) égalées à zéro; pour parvenir à une nouvelle décomposition du système considéré, il est donc naturel de commencer par chercher les systèmes isolés (£, 7) communs aux deux fonctions (x, y) et W'(x, y) égalées à zéro. Je montrerai à la fin de ce paragraphe qu'en trouvant ces systèmes isolés on obtient vraiment une décomposition du systéme [d(x, y), (x, y)] en systemes plus simples.
La premiére partie de cette recherche n’est pas nouvelle. Mais il me semble nécessaire de la donner ici en insistant sur les points susceptibles de généralisation afin de bien faire comprendre sur quoi repose ‘la solution du. problème dans le cas général que j'exposerai plus loin. Comme c'est ce cas général qui est l’objet de nos recherches, je laisserai, à dessein, de côté, tout ce qui ne s'y rapporte pas directement.
Pour trouver les solutions communes aux deux équations (x, y) — 0, Yx, y) — © nous chercherons à transformer le système (9 = 0, #— 0) en un systéme enticrement équivalent ne contenant qu’une seule équation. S'il est possible d'effectuer cette transformation, le problème ne présentera
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 81
plus aucune difficulté, à condition que nous supposions connu le théorème de Gauss sur la séparation des racines d’une équation algébrique.
Le problème aïnsi posé, on est directement amené à reprendre les recherches que j'ai exposées, dans le chapitre premier de ce Mémoire, sur le résultant de deux fonctions entières. Comme, pour des valeurs indéterminées de y, ®D(x, y) et W'(x, y) n’ont pas de diviseur commun, on sait que l'on peut trouver des fonctions entiéres de x et de y, ®, et 4", vérifiant l'égalité
dans laquelle le résultant Z,(y) est une fonction entière de y qui n’a aucun diviseur commun avec ®, et #. et qui n’est pas identiquement nul en y.
Lorsque les cocfficients des plus hautes puissances de x, dans ® et f ne dépendent pas de y, j'ai démontré que l'égalité R(y) — o est la condition nécessaire et suffisante pour que les deux fonctions ® et 4 aient un diviseur commun en æ. Il n’en est pas de même lorsque, dans ® ou #', le coefficient de la plus haute puissance de x dépend de y; en effet, pour des valeurs particulières données à y, le degré de W'(x, y) par exemple, par rapport à x, peut alors s’abaisser d’une unité; si donc
R(y) = 0, c'est à dire, si D(x)E,(2) + H(x)d,(x) — 0
an ne peut plus, en supposant l’existence des racines, conclure immédiatement que (x) et W'(x) ont un diviseur commun; car la relation
f(x) =o [mod Y'(x)]
qui était impossible dans le cas où le coefficient de la plus haute puissance de x, dans #'(x) ne dépendait pas de y, est possible maintenant.
Ainsi pour pouvoir appliquer à des fonctions de deux variables le théorème fondamental sur leur résultant, il nous faut tout d’abord transformer ces fonctions en d’autres qui leur soient équivalentes et dont le degré par rapport à chacune des variables soit égal à la dimension.
Une simple transformation linéaire nous fournit ce résultat. Soit À la dimension de (x, y) et y celle de Y(x, y). Désignons par ç,(x, y) l'ensemble des termes de (x, y) qui sont de dimension À, et par
Acta mathematica: 6, Imprimé 26 Juin 1884. 11
82 J. Molk.
d,(x, y) l'ensemble des termes de #W'(x, y) qui sont de dimension y. Si nous posons |
x = ax + y y = 7x + dy,
comme une substitution linéaire des variables ne change pas la dimension d'une fonction de ces variables, les termes de plus haute dimension en z' et y’ seront, aprés la substitution,
(ax + By, re + dy) = ea, 7)2 + po(B; 6)y + :
et
d(ax + By’, je + dy") = dia, r)2" + D (B, y" +
Il suffit done de choisir les systèmes de nombres (a, 7) et (3, d) tels que ge, et d, soient différents de zéro lorsqu'on y remplace (x, y) par l’un et l'autre de ces systèmes, pour avoir transformé (x, y) et d'(x, y) en deux fonctions de #’ et de y dont le degré par rapport à chacune des vafiables est respectivement égal à À et à y. Ces fonctions égalées à zéro sont entiérement équivalentes à (x, y) — 0, (x, y) — ©. Ce n'est donc pas une restriction que de supposer que (x, y) et (x, y) sont déjà les fonctions transformées. Dans cette hypothèse nous pouvons appliquer le théorème fondamental sur le résultant de deux fonctions entières.
Formons d’abord le résultant, par rapport à x, des deux fonctions D(x, y) et Yx, y); soit
Bi(y) = IT (y — w) ce résultant. Les deux fonctions de x,
ont, d’après ce que nous avons démontré, un diviseur commun; il y aura donc sûrement pour y —%,, une valeur de x, æ — £, pour laquelle les deux fonctions (x, y) et W'(x, y) sannuleront simultanément, Inversement, si pour une valeur particulière de y, y — #7, on peut trouver une valeur de x, x — £, telle que les deux égalités
