DE, 7) = 0, VE

soient vérifiées simultanément, £ sera nécessairement égale à l’une des racines «, de l'équation R,(x) = o.

Le théorème fondamental sur le résultant de deux fonctions entieres, appliqué aux deux fonctions ®f(x, y) et (x, y) nous montre donc que les systèmes (£, 7) pour lesquels on a simultanément

DE, D —0 ct VE, m0

sont tous compris parmi ceux que l’on peut former à l’aide des racines des deux équations |

Maïs nous ne voyons pas encore comment se groupent les racines de ces deux équations, pour former les systèmes (£, y). C’est pourquoi nous introduisons dans nos recherches une quantité indéterminée u. Posons 2 = UT +Y

ou encore, pour conserver la symétrie entre x et y

2 = UD + Vy; MEET

84 J. Molk.

et D(x, 2— ux) = ç(x, z, u)

Pr, 2— ux) = d(x, #, u).

Dans les deux fonctions de x et de z, @ et d, le coefficient de la plus haute puissance de z, ne dépend, comme dans ® et #', que des éléments du domaine de rationalité, et le coefficient de la plus haute puissance de æ que de ces mêmes éléments et de l’indéterminée ; ils ne peuvent donc jamais s'annuler pour des valeurs particulières données aux variables æ ou ?, ce qui nous permet d'appliquer au système

CÂ%;14%, 4) =10, (x, 4, u) = 0 le même raisonnement que tout à l'heure. Formons donc le résultant,

par rapport à æ des deux fonctions @ et d, et désignons par

R(e, u) = cIl(: — 6)

@) ce résultant, divisé, s'il y a lieu, par une fonction entière de w, afin que le coefficient de la plus haute puissance de z ne dépende plus que des éléments du domaine de rationalité Nous pouvons alors toujours déterminer une valeur de x, æ'= &, telle que

p(E, G)—=0 et W(E, G) —0o.

Comme inversement, toutes les valeurs de z pour lesquelles ç et sannulent simultanément, sont racines de l'équation Æ(:) — o, nous voyons également que

« x — "22 Net MuEs LE yy =T; :

représentent {ous les systèmes vérifiant les deux équations

p(x, ux + y) = 0o et dx, ux + vyÿ) = 0 ou encore que

x — En et y = GT UE représentent {ous les systèmes vérifiant les deux équations

(Tr, y) = oM et WT) —= 0.

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination, * 85

Mais nous avons vu tout à l'heure que tous ces systèmes sont compris parmi les combinaisons des racines &, et 7, de R,(x) — 0 et de R;(y) — o. Donc | … he DT oc SA rm a 1 c'est à dire = UE, + Um.

Ainsi chaque racine du résultant Æ(z) égalé à zéro est une fonction linéaire et homogène des racines des résultants des deux fonctions considérées, par rapport à æ et à y, et nous pouvons écrire

R(2) = IT (2 — uË, — vr).

L'équation R(2) — o est entièrement équivalente au système

MD (roy) = 0, (x; ÿ) = 0]

car à tout système vérifiant simultanément les deux équations © — o et # — © correspond une racine de l'équation ÆR(z) — o, et inversement à toute racine uë, + vy, de l'équation R(z) — o, correspond un système (6 7) tel que

DÉTECTE (ET EL = 0:

C'est pourquoi nous dirons que R(z:) — o cest l'équation résolvante et R(2) le résolvant du système [@(x, y), (x, y)].

Comme

R(2) = IT (2— 06, — y) — IT Lu(x — &) + v(y — m)]

il suffit, pour obtenir les systèmes cherchés (&, #) de décomposer la fonction homogène de « et de v, R(ux + vy) en ses facteurs linéaires,

Chacun de ces facteurs linéaires, égalé à zéro, nous donne un des systèmes cherchés; car « étant indéterminée, de l'égalité

on déduit

ETS J. Molk.

La différence essentielle entre À et la fonction V de GaALois consiste en ce que dans À, w désigne une indéterminée, tandis que dans W, « et v sont remplacés par des nombres entiers. Cette différence est trèsimportante, comme nous nous en apercevrons peu à peu dans la suite de nos recherches.

Dés maintenant nous voyons que la méthode précédente a l'avantage de nous donner simultanément les deux éléments €, 7 d’un même système, et c’est à l'emploi de l’indéterminée # que nous devons ce résultat.

Poisson fait déja usage des indéterminées et obtient le même résultat; mais là s'arrête l’analogie de sa méthode et de celle de M. KronECKER. Il me semble que Poisson considère les indéterminées plutôt comme des auxiliaires commodes pour le calcul, tandis que M. KRroNECKER s’en sert surtout pour pénétrer plus avant dans la nature des systèmes vérifiant les équations données. Déjà la recherche sur la décomposition des systèmes que nous allons aborder à l'instant, indiquera clairement l'importance théorique des indéterminées en Algebre.

L'équivalence

suppose expressément # indéterminée. Mais si, faisant pour un instant abstraction de cette équivalence, nous nous proposons simplement de trouver les systèmes (£, y) vérifiant à la fois les deux équations

(x, y) "4 €) et W(x, y) — 0

il nous suffira de remplacer « et v par des quantités variables, et alors nous pourrons toujours, comme nous l'avons fait voir dans le second chapitre de ce Mémoire, donner à ces variables des valeurs «a et D, telles que £ et y soient fonctions rationnelles de aë£ + by. A la recherche des deux genres £ et » est alors substituée, comme chez GaLois, celle du genre unique qui les contient tous deux. Nous rencontrons ici le genre de la méthode qui permet de donner une figuration bien simple d’un systéme d'équations à un nombre quelconque d’inconnues. k

2. Nous venons de parler de l’équivalence des systemes d'équations [D(x, y) — o, V(x, y) = o] et [R(z:) — 0], équivalence qui est le théorème fondamental de la théorie de l'élimination, dans le cas de deux fonctions

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 87

de deux variables. Il nous faut maintenant rechercher si à cette équivalence correspond une équivalence entre le système

CO(x, y), V(x, y)],

qui est à proprement parler l'objet de nos recherches, et son résolvant R(ux + vy), et si cette équivalence répond à la définition algébrique que jai donnée dans le chapitre précédent, où deux systèmes étaient dits équivalents lorsque chacun d'eux contenait l’autre dans le sens plus général de contenant et de contenu introduit en Algébre par M. KroONECKER.

Comme l'équation R(ux + vy) — o n’est la résolvante du système donné que si « est indéterminée, elle représente non pas une équation entre æ et y, mais plusieurs. Si, en effet,

R(ux + y) — 2 r,(x, y}u” :=0 nous aurons à la fois, précisément parce que « est indéterminée, ot; y) —= O; r,(; y) hQ ilot 3 f ,(c, y) 19

et le nombre de ces équations peut être fort grand. C’est ce système d'équations qui, en réalité, est équivalent au système

LOT e 0, Try) "0 |;

nous l’avons seulement condensé en une seule équation, à l’aide de l'indéterminée #, afin d'obtenir simultanément les valeurs correspondantes £ et 7; mais dans des recherches d’équivalences il nous faut revenir aux équations qui lient les variables æ et y indépendamment de l’indéterminée u; nous comparerons donc les deux systèmes

CO(x, y); de, y)] et [rofr, y), mir, y), +, ra, y].

Le résultant ÆR(2) est une fonction linéaire et homogène des deux fonctions ç(x, z) et dx, 2), c’est à dire des deux fonctions (x, y) et l'(x, y) et les coefficients de cette fonction linéaire et homogéne sont des fonctions entières de x et de 2. Ils sont seulement rationnels en «; mais après avoir multiplié par une fonction entière convenable de #, l'expression R(z) et la fonction linéaire et homogene qui la représente, on peut com-

88 Na J. Molk.

parer les coefficients des puissances correspondantes de w; on obtient alors, pour), 22,1. te

r(t, Y)=0 [modd ®(x, y), (x, y)] ce qui démontre la congruence

ot, 4), nt, 9), 5. nt Y]=O modd'D(x; y), (x, y}:

Ainsi le système donné est contenu dans le système des coefficients du résolvant. Il s'agit maintenant de vérifier si, inversement, le système des coefficients du résolvant est contenu dans le système donné.

Une restriction est ici nécessaire. Nous savons que la fonction O(x, y) s'annule pour les systèmes (£, 7) vérifiant simultanément les équations 7%, Y)= 0,170, 4) 20,4 ra (6 y} 0 VUE PORN voulons démontrer revient donc à généraliser la proposition élémentaire qu'une fonction ®(x) qui s'annule pour toutes les racines d’une équation r(x) — 0, est divisible par r(x). Mais cette proposition élémentaire suppose déja que toutes les racines de l'équation r(x) — o soient inégales; il est donc naturel de faire la même restriction dans le cas des fonctions de deux variables et de supposer que tous les systèmes (£, 7) soient inégaux, c'est à dire que l'équation résolvante R(2:) — o n'ait point de racines multiples.

C'est seulement sous cette hypothèse que je résoudrai complètement le problème proposé. Elle revient à supposer l'inégalité