ILE, %)Z

où /'(x, y) désigne le déterminant fonctionnel des deux fonctions /(x, y) et K(x, y) et où le produit est étendu à toutes les racines du résolvant R(2) égalé à zéro.

Dans ce but, il suffit de remarquer qu’en désignant par « et w, deux indéterminées différentes, les fonctions H(x,*y) = Zri(r, AU art Er us Zr,(x 1Y)F;

se transforment en

Rux + y) = rx, yju' cet R(ux + y) — Zr(, y)ui

par une substitution qui spécialise les indéterminées U et V. Si donc le déterminant fonctionnel Ta, » D,H(x, y), D,H(x, y) Lui DK, 4); D, K(x, y)

était nul, pour un des systèmes (£, 7) considérés, il faudrait que pour ce # +

même systéme, le déterminant D,R(ux + y), D,R(ux + y) D,R(ux + y), D,R(ux + y) füt également nul. Mais, Si 4 = UT +Y, D,R(ux +y)=uD,R(z); D,R(ux + y) = D,R(:) D,R(u,x + y) =uD,R(a); D,R(ux + y) = D,R(z).

Acta mathematica, 6. Imprimé 30 Juin 1884, 12

Nous aurions donc aussi l'égalité (u—w)D,R(z)D,R(z) = 0

c'est à dire, ou bien D,R(z) — o, ou bien D,R(z,) = o, pour un système (£, 7) qui annule le résolvant R(z) et pour lequel nous avons à la fois R(ux + y) = 0 et R(u;x + y) — 0. Ce résultat est contraire à l’hypothése d'après laquelle Æ(z) n'a point de facteurs multiples. Il est donc impossible que le produit

soit nul.

Mais alors il est également impossible que toutes les fonctions Vols Vs Mill» Yr secs TX Y). aient un diviseur commun;. car si elles avaient un diviseur commun P(x, y), P(x, y) serait aussi diviseur de H(x,y) et de K{x,y); les deux fonctions Z{(x, y) et K{(x, y) s'annuleraient done pour, l’un des systèmes (£, y), et nous aurions pour ce système