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contrairement à ce que je viens de démontrer. D'autre part, comme par hypothèse le résolvant R(z) n'a pas de facteurs multiples et que D, Rux + y) — uD,R(z), les deux fonctions

2 r,(x, yju* et Z D,r,(x, y)u

n'ont pas de diviseur commun, pour des valeurs indéterminées de y. On voit done que Æ{x, y) et sa dérivée par rapport à x ne peuvent avoir: de diviseur commun tant que y reste indéterminée.

Ainsi de l'hypothèse que R(z2) n’a pas de facteurs multiples, résultent

les deux équivalences

[H{x, y), K(X, y)] T1 et

LA (x, y) D'K(asty)l 1

relativement à x, pour y indéterminée. -

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination, gt Ceci posé, je vais chercher à vérifier la congruence D(x, y)=0 [moddr,(x, y), ri(x, PP AAUTANIE

À cet cffet ïl est nécessaire de déterminer des multiplicateurs q,(x, y), H(X, Y); -.., Aux, Y), fonctions entières de x et de y, et tels que ®(r, y)

soit égal à (CE Y)ro(es y) + Des y}rifes y) +... Hurt, Yale, Ye

Ce probleme serait résolu si nous pouvions déterminer des fonctions entières

de æ et de y, a(x, y) et B(x, y) telles que

D(x, y) = a(x, y) He, y) + Br, y) K(x, y)

c'est à dire, si nous pouvions déterminer une seule fonction entière de x et de y, a(x, y), telle que

D(x, y) = ax, y) H(x, y) [mod Æ(x, y)].

La formule de LAGRANGE: nous donne immédiatement une fonction rationnelle de æ et de y, entière en x,

J: , ) = D(x;, y) K(+, ue I a(x, LR ; Te y) Free PL K(x, he

vérifiant cette congruence; la somme est. étendue à toutes les racines #, du polynôme Æ{x, y) considéré comme une fonction de # seulement et évalé à zéro. Si la fonction rationnelle a(x, y) est aussi entière en y, le probléme est résolu; il s'agit done simplement de voir quand cette expression se présente sous. une forme illusoire. Dans ce but nous rechercherons les valeurs des variables qui annulent son dénominateur.

Et d’abord les deux dernières équivalences nous montrent que pour y indéterminée, H(x,, y) et D,K(x, y), sont nécessairement différents de zéro. |

De plus, si nous donnons à y, une valeur y, indépendante des indéterminées U et V, et telle que H{x,, y) soit nulle, nous aurons à la fois

HP) = OMS KES yo:

.J. Molk.

Mais alors le systéme (x,, y,) aunule simultanément toutes les fonctions (cs y), (— 0, 1,..., m)3 il est donc identique à l’un des systèmes (£, 7) considérés, et comme pour chacun de ces systèmes on a Ÿ(É, 7) = 0, notre expression se présente sous une forme indéterminée. En tenant compte de légalité K(x,, y) — 0, on trouve facilement, par le procéde bien connu de différentiation du numérateur et du dénominateur, la vraie

re a 6 * » = O(É;, Vi) F À ’ \ raleur de la fraction HE 1) ÆElle est égale à

Le dénominateur est égal, au signe près, à (6, »,); il est donc différent de zero et la vraie valeur de la fraction

- D(£, Yi) \ H(é;, Yi) est finie et déterminée.

Si donc, en s’annulant, la fonction de y,

T{y, U, V)= HE(G,, y

rend illusoire l'expression du multiplicateur a(x, y) donnée par la formule de LAGRANGE, ce ne peut être que pour des valeurs de y qui dépendent des indéterminées ÜU et V. En d’autres termes, si nous déterminons le plus grand commun diviseur A(y) des coefficients de la fonction T{y, U, PV) ordonnée par rapport aux indéterminées Ü et VW, et que nous mettions Ty, U, V) sous la forme

T(y, (LE 124 = A(y)E,(y; U, V) #

les racines de l'équation A(y) — o ne rendront pas infinie l'expression trouvée pour a(x, y).

Je rappelle qu'on entend par forme primitive d'un nombre quelconque d'indéterminées, une fonction entière de ces indéterminées dont les coefficients n'ont aucun diviseur commun. Æ(y, U, V) est donc une forme primitive des indéterminées U et W.

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 93

Il serait possible que pour une valeur déterminée de y, indépendante des indéterminées U et WV, y — y,, la fonction K{x, y) et sa dérivée par rapport à æ, aient un diviseur commun. l'expression trouvée pour a(x, y) se présenterait alors, pour y — y,, sous une forme illusoire. Mais je vais montrer que si WW désigne une indéterminée, il est impossible que la fonction

K(#, y,) + WH(x, y)

et sa dérivée par rapport à x, aient un diviseur commun.

Et d'abord les deux fonctions de x, H(x,y,) et K{x, y.) ne peuvent avoir de diviseur commun. En effet, si la fonction P(x, y,) divisait à la fois H(x, y,) et K(x, y.) elle diviserait aussi /'(x, y,). Mais alors en déterminant x, par l'égalité P(x,, y.) — o, nous aurions à la fois

cé qui est impossible, puisque des deux premières de ces égalités nous pouvons conclure que le système (x, y) est égal à l’un des systèmes (£, 7), à condition toutefois que nous ne considérions que des valeurs y, indépendantes des indéterminées U ét V.

Ceci posé, supposons que la fonction Æ(xr, y) + WH(x, y) cet sa dérivée par rapport à x aient un diviseur commun, Lx, y, W). Des deux égalités

Ke, y) E WH(x;y,) = Lx; y, W)Mi{x, y, W) et |

D,K(x, y) + WD,H(x, y) = Lx, y, W)Nx, #, W)

on déduit immédiatement la relation

K(x, y)D,H(x, y) — H(x, y)D,K(x, y) = LOU OMIM (rc JOTD. Hey) = Nix, 4, 0W)D,K(x, nl?

dans laquelle la quantité entre parenthèses est différente de zéro. En effet, dans le cas contraire le terme de gauche serait égal à zéro, donc les deux fonctions de x, H(x, y,) et K(x, y,), auraient un diviseur commun, contrairement à ce que nous venons de démontrer. Mais alors, nous

94 J. Molk.

pouvons déduire de l'égalité précédente que la fonction ZL{x, y, W) est nécessairement contenue dans l'expression

elle est, par suite, indépendante de lindéterminée W; donc, comme K + WH = L.M, elle est contenue à la fois dans H{x, y.) et dans K(x, y,). Mais nous avons vu plus haut que ces deux fonctions n'ont pas de diviseur commun; donc la fonction X{x, y,) + WH{(x, y,) et sa dérivée, par rapport à x, sont premicres entre elles.

En appliquant aux deux fonctions de x,

Ke, y) +. WH(x, y). et D,K(z, y) + WD,H(x, y)

le théorème fondamental sur le résultant de deux fonctions entières, on voit maintenant qu'il est possible de déterminer une constante C, telle que la fonction

K(x, y,) + CH(x, y.)

n'ait évalement aucun.diviseur commun avec sa dérivée par rapport à x. D'ailleurs les deux systèmes

CH(x, y), K(x, y)] et TH(x, y), K(x, y) + CH(x, y)]

sont entiérement équivalents.

Ainsi, aprés avoir transformé, si cela est nécessaire, le systéme proposé en un système équivalent convenable, en désignant encore par H(r, y) et K{x, y) les deux éléments de ce système, et par y, une valeur déterminée indépendante des indéterminées U et F, nous ne pouvons avoir simultanément les deux équations

Comme la premiere de ces égalités est vérifiée, quelle que soit y, la seconde ne l’est Jamais. En d’autres termes, le produit

ÉDE (x, y) PNEU

+ L] > est une forme primitive des indéterminées U et F.

Sur Ja notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 95

En multipliant la fonction entière de x, ax, y) par le produit E(y, U, V) des deux formes primitives E,(y, U, V) et Ti(y, U, V}, nous obtenons donc une fonction entière de x et de y. Comme le produit de deux formes primitives est lui-même une forme primitive, la forme Ety, U, V} est primitive. |

Nous avons jusqu'ici, à l'aide de la formule de LAGRANGE, déterminé a(x, y) de manière que la fonction entière de x et de y ainsi que des indéterminées U et F :

E(y)[®D(x, y) — afx, y) H(x, y)]

soit divisible par Æ(r, y), considérée comme une fonction de x seulement; le quotient |

a De, y) — a(x, y)H(æ, y] B(x; ÿ) = “LE ET A DEL D

est donc une fonction ‘entière de x. Maïs nous avons démontré que si le quotient de deux fonctions entières de plusieurs variables x, y, 2, ..., est une fonction entière de x et si la fonction diviseur ne contient pas un facteur indépendant de x, ce même quotient- est fonction entière de toutes les variables %, y, 2, .... La fonction entière X(x, y) ne contient manifestement aucun facteur indépendant de x; donc f(x, y) est une fonction entiere de æ et de y, ainsi que des indéterminées U et F, et nous pouvons écrire

E(y)®(«, y) Se LE(y)a(x, y)] H(x, y) qe B(x;, y)K(x, y) |

les coefficients de (x, y) et de X(x, y) étant fonctions entières de #, de y et des indéterminées U et F.

Nous avons donc démontré, non pas que la fonction ®(x, y) contient le système de modules |

CH(x, ÿ) K(x, y)],

mais seulement que le produit É E(y)d(x, y)

de la fonction ®(x, y) et d’une forme primitive Æ{y), contient ce système de modules. Mais comme dans la forme primitive Æ{y) ne parait qu'une variable y, tout est bien simple maintenant.

En ordonnant par rapport aux indéterminées U et 1” les deux termes de l'égalité

E(y)®(x, y) = Ey)a(x, y) H(x, y) + f(x, y) K(x, y)

et en comparant les coefficients, nous obtenons un systéme d'équations

SO(y)D(x, y) = rc, 5%, 9) + nie, Y)(œ, y) + 2. + r, (x, y)80 (x, 9)

pour k— 1, 2,.3,.... Comme la variable, x ne parait pas dans ‘a forme Æ(y), chacune des fonctions SŸ(y) ne contient qu'une seule variable; ces fonctions S%(y) n'ont d'ailleurs pas de, diviseur commun puisque la forme Æ(y) est primitive; nous pouvons donc déterminer des fonctions enticres à coefficients rationnels o,(7y), telles que l'égalité +