SUD

soit vérifiée. En multipliant chacune des équations précédentes par la fonction o,(y) correspondante et en ajoutant les différentes équations ainsi obtenues nous avons donc enfin

D(x, y)=0 [moddr,(x, y), rifx, y), ..., ru, Y)]. L'on obtient, tout à fait de même, la seconde congruence Pix, y) =0 [moddr,(x, y), rifæ, y), ..., r,(&s y)] Mais alors on peut écrire [O(x, y), Pt, Y)]= 0 [moddr,(x, y}; nitt, y), A, y)|.

Il suffit de joindre à ce résultat, celui que nous avons obtenu plus haut, pour avoir démontré l’équivalence

[2 (x, y), Ex, y)] 4 Lro(æ, y) r1(æ; y) rs Ta y)].

L'équivalence d'un système de deux fonctions de deux variables et du système formé à l’aide des coefficients de son résolvant ordonné par rapport aux indéterminées qui y paraissent est donc bien de celles que nous avons définies dans le chapitre précédent.

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 97

Comme R{ux + y) — > r,(æ, yju*

quelle que soit l’indéterminée #, nous pouvons en considérant successivement plusieurs indéterminées différentes. #, #,, ..., représenter chacune des fonctions r,(x, y) par une fonction linéaire de R(ux +y), R(u;x +y),.…… Il est bon de remarquer que les coefficients de ces fonctions À sont, en général, fonctions rationnelles des indéterminées #, u,,.... La fonction R(ux + y) prise un certain nombre de fois et pour des indéterminées différentes, et le système [r,(x, y), nil, y), ..., r,(æ, y)| sont donc équivalents. C’est pourquoi nous pouvons dire que l'équivalence démontrée

[Du y), Lx, pl Ine, y), iles y), ., r (ts 9)

indique aussi qu'à l'aide des indéterminées w, la fonction R(z) remplace entièrement le système donné |[®(x, y), d'(x, y)|.

3. Il nous faut maintenant faire les mêmes recherches dans le cas où l’on nous donne non pas deux, mais un nombre quelconque de fonctions de deux variables. En introduisant la notion de système de diviseurs j'ai déja insisté sur ce que le nombre d'éléments de ces systèmes ne jouait qu'un rôle secondaire dans l'étude de leurs propriétés. Pour légitimer cette remarque, j'ai de suite montré que l’on peut augmenter à volonté le nombre des éléments d’un systéme sans rien changer à sa signification. La méthode que je vais suivre pour transformer un systéme composé d’un nombre quelconque d'éléments et qui est toute semblable à celle que j'ai suivie lorsque le système n'était composé que de deux éléments seulement, vérifie entiérement cette +remarque dans le cas de deux variables.

Soient A,(x, y), Lt; y), .….., A,(x, y), g fonctions entières de x et de y, que nous pouvons supposer sans diviseur commun dans le domaine de rationalité considéré, puisque nous connaissons une méthode pour déterminer le plus grand commun diviseur d’un nombre quelconque de fonctions entières dans un domaine général de rationalité. Nous cherchons

s'il est possible de décomposer le système

Me ae (ro), cd 59)

Acta mathematica. 6, Imprimé 28 Juin 1884. 1

98 J. Molk.

en systèmes plus simples. Relions, à cet effet, les éléments A,, 4, …, 4,

par deux! systèmes dindéterminées UE A, QU, et PIS En res formons le résolvant des deux fonctions

: LL 2 U;A;(x, y) et 2 FACE UN

ce résolvant sera fonction entière de 2 — ux + vy et des indéterminées U et V; désignons-le par

et soit Az) le plus grand commun diviseur des coefficients de S considérée comme une fonction des indéterminées Ü et VW seulement; nous

Pete { pourrons alors écrire