CHAPITRE I

Méthodes particulières à l’Algèbre.

1. L’Arithmétique et l’Algébre prennent une place à part dans l'ensemble des sciences mathématiques. Leur objet propre est, en derniére analyse, l’étude des propriétés des rfombres entiers positifs et des fonctions entières à coefficients entiers, positifs, d’une ou de plusieurs variables indépendantes. |

Ces deux études ne different pas essentiellement l’une de l'autre. Une fonction entière, à coefficients entiers, positifs, d’un certain nombre de variables représente, en effet, d'une manière commode, un système de nombres entiers et ne représente pas autre chose. On obtient ce système

() L. KronECKER: Grundazige einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grôüssen. Festschrift zu Herrn KE. E. Kummers Doctor-Jubiläum. Berlin, Reimer 1882.

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Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 3

en remplaçant successivement, dans la fonction entière considérée, les

variables par tous les systèmes de valeurs entières plus petites qu'un

entier, laissé, à dessein, indéterminé dans les recherches générales, afin de pouvoir être choisi convenablement dans chaque recherche particuliére. L'indétermination du nombre fini d’entiers du système que l’on considere

et la maniére d'obtenir facilement ces entiers, sont toutes deux mises en

évidence en représentant ce système par une fonction enticre.

L’Arithmétique et l'Alsébre ont aïinsi un domaine bien défini; les nombres entiers, positifs, les systèmes de nombres entiers représentés par des fonctions entières à coefficients entiers, positifs, y sont considérés comme existant, tout comme le mouvement en cinématique et la matière dans les sciences naturelles. ” Les nombres rationnels, négatifs, imaginaires, ainsi que les nombres irrationnels et transcendants ne font pas partie de ce domaine. [ls n’ont du nombre que le nom; en réalité ce sont de purs symboles. | |

En Analyse le”point de vue est différent. On commence par généaliser l'idée même de quantité. Gauss l’a le premier fait d'une manicre systématique mais sans séparer entierement le domaine de la Géométrie de celui de l’Arithmétique. Plus tard M. WErERsTRASS à suivi une méthode essentiellement différente où l’on ne s'attache d’abord à aucun domaine dé-

terminé mais où, au contraire, le but que l'on se propose, en généralisant

l’idée de quantité, est de déterminer le domaine nécessaire et suffisant dans lequel on puisse effectuer toutes les opérations directes et inverses qui se présentent dans les calculs. Mais que l’on se place au point de vue de Gausssou à celui de M. Werersrrass il importe de remarquer‘ que le désir de pouvoir répondre positivement à une série de questions, qui sont en partie du domaine de la Géométrie, a seul amené les mathématiciens à introduire successivement de nouveaux symboles en Analyse. On comprend alors qu'en se plaçant au point de vue spécial de l’Arithmétique, en assignant à cette science un domaine déterminé, celui des nombres entiers, positifs, et en ne voulant pas introduire dans tous les raisonnements une idée étrangère à l'objet que l'on a en vue, il convienne de n'employer qu'une partie des symboles de l'Analyse, celle qui ne nous fait quitter qu’en apparence le domaine de l’Arithmétique.

Les symboles dits rationnels, positifs et négatifs remplissent cette

» condition. À tout moment une égalité contenant des nombres rationnels,

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positifs. ou négatifs, peut être transformée en une égalité entièrement équivalente et ne contenant que des nombres entiers et positifs Un nombre fini d'opérations permet toujours de grouper les symboles rationnels suivant les besoins du calcul et de remplacer ces gronpes par des nombres entiers positifs à l’aide des égalités qui définissent ces symboles, égalités qui peuvent toujours être sous-entendues et qui seules ont une existence réelle en Arithmétique.

La même chose a lieu pour les fonctions entiéres ou rationnelles, à coefficients entiers ou rationnels, positifs ou négatifs, d’un nombre quelconque de variables. Aussi les adjoindrons-nous également au domaine de l’Arithmétique.

Les fonctions entières d'une variable, égalées à zéro, définissent de nouveaux nombres, les nombres alsgébriques. Maïs nous remarquons une grande différence entre l'introduction de ces nombres et celle des nombres rationnels, car nous ne pouvons pas à tout moment remplacer une égalité: contenant des nombres algébriques par une égalité équivalente et ne contenant que des nombres entiers et positifs. En réalité, lorsqu'on définit positivement les nombres algébriques, on quitte vraiment, et non plus en apparence seulement pour la commodité des calculs, le domaine de l'Arithmétique pour entrer dans un domaine plus vaste. Il convient donc d'éviter l'emploi de ces nombres. Leur introduction, en Arithmétique, est d'ailleurs inutile en théorie; nous verrons plus loin par quoi il faut chercher à les remplacer. s

Cependant lorsqu'on fait de nouvelles recherches, il est presque indispensable, dans l'état actuel de la science, de se servir de nombres algébriques; c’est, il est vrai, un simple artifice de langage, mais il fait image et nous permet de séparer facilement dans notre pensée les différentes racines conjuguées et d’abréger ainsi les démonstrations. La même chose a lieu en Géométrie par exemple, où il est souvent bien commode de ne pas s'astreindre tout d’abord à faire de la Géométrie de position, mais, au contraire, de supposer connus certains éléments qui sont du domaine de la Mécanique. |

Sans doute il est nécessaire, pour étre en droit de séparer ainsi les racines et de les représenter séparément par des symboles, de montrer comment, après avoir ramené le cas général à celui de la recherche des racines réelles d'une équation à coefficients réels, on peut; dans ce cas

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particulier, déterminer un intervalle dans lequel l'équation donnée ne saurait être vérifiée par plus d'un nombre rationnel, avec une approximation donnée, suffisamment grande. Il faut, en un mot, montrer ce que l’on doit entendre par racine d’une, équation algébrique, au point de vue arithmétique auquel nous nous sommes placés.

Mais ces considérations mécarteraient par trop de l'objet que j'ai principalement en vue. Elles rentrent dans un autre ordre d'idées et il convient de les exposer avec la théorie des Caractéristiques. (*) En supposant cette lacune comblée, il n'y a aucun inconvénient, dans des recherches nouvelles, à se servir de ees symboles algébriques, si l'on a soin d'y joindre l'égalité qui les définit. Il est cependant toujours nécessaire, lorsqu'on se propose d'approfondir les principes de l’Aluébre, de se passer, autant que possible, de cet instrument étranger au domaine de cette science.

Ce que je dis des nombres algébriques s'applique mot pour mot aux fonctions algébriques.

directement les questions fondamentales de l’Algébre que celles de l’Arithmétique. Il nous est nécessaire de saisir à la fois tout l’ensemble d'une question, toutes les faces sous lesquelles elle se présente, pour pouvoir tirer des conclusions; et notre puissance d'abstraction est, en général, si faible que nous avons besoin d'auxiliaires. Ces auxiliaires nous sont donnés par la nature elle-même. Ce sont les quantités indéterminées. C'est à Gauss que revient la gloire de les avoir introduites en Arithmétique. Poisson et plusieurs autres mathématiciens éminents, ont certainement aperçu, en partie du moins, leur importance; mais c’est à M. Kro- NECKER qu'il était réservé de faire voir clairement le rôle fondamental qu'elles sont appelées à jouer en Algébhre.

Je distingue entre indéterminées et variables.

Nous ne pouvons pas disposer des indéterminées dans le cours d’une démonstration. Ce sont ou bien de simples liens destinés à joindre une série d'opérations à effectuer ou de valeurs à trouver, et alors nous n'avons aucune prise sur elles, ou bien encore des abstractions que nous laissons à dessein indéterminées dans une même recherche afin d’embrasser un grand nombre de cas particuliers dans un seul calcul et alors, le calcul

(*) Comparez KroNECKkER, Monatsberichte der Berliner Akademie 1869,

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terminé, nous pouvons leur donner une valeur quelconque. Dans ce dernier cas, je les nommerai plus particulièrement variables-indéterminées.

Les variables, au contraire, peuvent prendre des valeurs particulières dans le cours d'une démonstration. Elles nous sont, en effet, données par la nature même de nos recherches et nous nous proposons précisément de rechercher les valeurs particulières qu'il faut leur donner, ou encore les restrictions auxquelles elles doivent être soumises pour satisfaire aux conditions d’un problème déterminé.

Nous verrons, dans la suite, que l'emploi de variables auxiliaires est parfois fort utile. Il permet d'effectuer des transformations qui affranchissent les expressions considérées de certains cas particuliers dont l'étude spéciale ne serait d'aucun profit pour les résultats à obtenir.

On pourrait objecter à ce que j'ai dit des nombres et fonctions alsébriques que ce sont tout aussi bien des auxiliaires légitimes que les quantités indéterminées. Cela n’est point douteux quant à la rigueur des démonstrations. Dans l’état actuel de la science, il peut même être souvent plus avantageux, pour obtenir ou énoncer rapidement des résultats nouveaux, d'employer comme auxiliaires les fonctions algébriques que de faire usage des quantités indéterminées. Mais lersqu'il s’agit de voir clairement le rôle que joue chaque élément dans l'exposé des prineipes et des méthodes de l’Algebre, il ne saurait y avoir de doute sur l'avantage de l'emploi des quantités indéterminées sur celui des nombres et fonctions algébriques.

En effet, l'existence même approximative de ces derniers est une idée très-complexe dans le domaine que nous nous sommes fixés On peut presque dire qu'elle joue le même rôle en Algebre que l'intégrale de Caucay en Analyse. C’est parce qu'ils supposent et renferment plusieurs hypothèses essentielles que ces deux merveilleux instruments permettent d'obtenir rapidement un grand nombre de transformations, l’un d’expressions algébriques, l’autre d'expressions transcendantes. Avant d’avoir cherché à s'en passer, on ne se rend que très-difficilement compte de toute la simplification qu'ils introduisent lun en Algébre, l'autre en Analyse. Loin de les critiquer je crois, au contraire, qu'il convient, actuellement, de les placer, dans ces deux sciences, au début de toute recherche nouvelle. Mais je crois aussi que, précisément parce qu'ils renferment tous deux tant d’hypothèses essentielles, ils n’éclairent pas suffisamment les principes de la science, et c'est pourquoi, en me bornant à,

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. ï.

l’Algébre, je disais plus haut que lorsqu'on se propose d'en approfondir les principes, il est préférable de-chercher à se passer de leur aide.

Les indéterminées, au contraire, ne nous font point quitter le domaine des quantités rationnelles. Elle n'exigent point d’autres symboles que ceux que nous connaissons déjà, les symboles qui correspondent aux quatre opérations. Elles ont de plus un grand avantage, celui d’unir en quelque sorte l’Arithmétique à l'Alsébre, la théorie des nombres à celle des fonctions entières d’une et de plusieurs variables, comme nous le verrons dans la suite.

Je rappelle qu’une forme est une fonction entière dans laquelle les variables sont remplacées par des indéterminées.

L'association () des quantités indéterminées au domaine de l’Algébre amène naturellement à joindre à l'étude des nombres entiers ét des fonctions enticres, celle des formes dont les coefficients sont soit des nombres entiers, soit des fonctions entières.

Il me reste à parler des nombres transcendants et imaginaires.

Les nombres transcendants, comme le rapport d’une circonférence à son diamètre, ne joueront pour nous que le rôle d’indéterminées. Si, en effet, nous démontrons un théorème en les supposant indéterminées et que nous remplacions ensuite ces indéterminées par les nombres transcendants donnés, rien ne saurait être changé dans notre domaine algébrique.

Les nombres imaginaires, de méme que les nombres alsébriques ne joueront aussi pour nous que le rôle d’indéterminées; mais, comme ils sont définis par des égalités ayant une existence réelle dans le domaine que nous considérons, il nous faudra tenir compte, dans nos calculs, de ces égalités, ce qui revient à remplacer les équations par des congruences.

Aïnsi, par exemple, /2 nest qu'un symbole; ce qu'il y a de réel, pour nous, c'est l'égalité 4° — 2 qui définit ÿ/2. Si nous joignons au symbole l'égalité correspondante rien n’empéche d’en faire usage; chaque fois que dans le courant d'un calcul paraîtra (2.42, l'égalité adjointe nous montre que nous devons remplacer ce produit par le nombre 2; en d'autres termes, que toute équation