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(*) Comparez KRONECKER: Festschrift, ? 22.

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où Æ désigne une fonction entière à coefficients rationnels, est équivalente à la congruence

dans laquelle « désigne une indéterminée.

La même chose a lieu pour les nombres imaginaires que l’on emploie ordinairement en Analyse, le module de la congruence étant alors (4° + 1). Dans des recherches. spéciales d'Arithmétique il peut être convenable d'employer d’autres imaginaires que ÿ— 1; cela revient à remplacer le module (4° + 1) par un autre module qui simplifie d'avantage la recherche particulière que l’on effectue.

3. Ce que j'ai dit du domaine particulier à l'Arithmétique et à. l’Algébre ‘indique la marche à suivre dans tout exposé des résultats principaux obtenus dans ces deux sciences.

Les définitions devront étre algébriques et non pas logiques seulement.

Il ne suffit pas de dire: »Une chose est ou elle n’est pas». Il faut montrer ce que veut dire être et ne pas être, dans le domaine particulier dans lequel nous nous mouvons. Alors seulement nous faisons un pas en avant. Si nous définissons, par exemple, une fonction irréductible camme une fonction qui n'est pas réductible, c'est à dire qui n'est pas décomposable en d’autres fonctions d'une nature déterminée, nous ne donnons point de définition algébrique, nous n’énonçons qu’une simple vérité logique. Pour qu'en Algèbre, nous soyons en droit de donner cette définition, il faut qu'elle soit précédée de l'exposé d’une méthode nous permettant d'obtenir à l’aide d'un nombre fini d'opérations rationnelles, les facteurs d’une fonction réductible. Seule cette méthode donne aux mots réductible et irréductible un sens algébrique.

Un raisonnement comme celui-ci: »Si des quantités données, en nombre infini, sont comprises entre des limites finies, 1l existe nécessairement une limite inférieure de ces quantités», est parfaitement logique. Il n'est point algébrique. Ce qu'il faut c'est donner une méthode pour déterminer, à l'aide d'un nombre fini d'opérations rationnelles, cette limite inférieure. Alors seulement nous faisons de l'Algébre.

Il convient enfin d'éviter particulièrement toute incursion dans le domaine de la Géométrie. L'idée de continuité géométrique doit nous être d'autant plus étrangère que nous grouperons les nombres, non d'apres

Sur la notion dè la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 9

leur grandeur, mais d'aprés leurs propriétés algébriques. Pour éviter tout malentendu, je m’efforcerai d'introduire une terminologie aussi peu géométrique que possible, comme l’a d’ailleurs fait M. KronecKkER dans sa Festschrift, en suivant ainsi l'exemple de Gauss qui empruntait généralement sa nomenclature aux sciences biologiques.

4. En résumé: Quelle que soit la science naturelle dont on se pro: pose d'aborder l'étude, on a soin de définir les éléments dont le groupement suivant des propriétés déterminées constitue en quelque sorte cette science. Les uns ont une existence réelle, ce sont eux que l’on a tout particulièrement en vue. Les autres sont des éléments auxiliaires; leur réduction à un nombre aussi petit que possible constitue un grand progres; car elle permet d’apercevoir sans intermédiaires et, par suite, plus clairement les liens cachés qui semblent unir les différents phénomenes.

Autre chose est d'élargir les horizons d’une science ou d’en approfondir les principes. Dans les premiers cas toutes les méthodes peuvent être utiles et ce serait méconnaître l'unité de notre esprit que de le contester. Dans le second cas, au contraire, il faut chercher à se maintenir rigoureusement dans le domaine particulier à la science que l'on a en vue. Car ce n’est pas approfondir les principes d'une science dont le domaine est bien défini que d'en développer les éléments à l’aide de principes étrangers a cé domaine.

La méthode que je viens d'indiquer n'aurait-elle d’ailleurs que l'avantage de faire voir clairement où et comment les principes étrangers à notre domaine simplifient les recherches, qu'il conviendrait encore de l’employer dans la mesure du possible,

L'Algèbre est la premiére des sciences naturelles. Je viens de définir son domaine, les éléments qui le composent, les éléments auxiliaires dont l'introduction n'offre aucune espèce de difficulté, et ces autres éléments auxiliaires dont malgré tous nos efforts nous ne pouvons encore nous . passer entiérement dans nos recherches.

Acta mathematica. 6. Imprimé 26 Mai 1884,

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