SEAL PIERRE RER DRE

et E(z, U, V.) sera une forme primitive des indéterminées U et W. Ceci posé, supposons que pour un système (£, y), les fonctions

sommes

y), At, y), ..., A,(x, y) s'annulent simultanément; alors les deux

Z UA(E, y) et À V,A(E, #) G=1, 2, up)

seront également nulles, et nous aurons, par suite, d’après-ce que nous avons démontré sur le résolvant de deux fonctions entières

S{uE + vy, U, V)= 0.

L « e L "4 LL .

Mais, pour une valeur de z indépendante des indéterminées Ù et VW, la fonction S(z, U, V) ne peut s'annuler que si R(z) s'annule. Si donc nous avons simultanément

nous-avons aussi

R(uË + vy) = 0.

Inversement, comme chaque racine £— u£ + vy de l'équation R(z) — 0

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 99

vérifie l'équation S(z, U, V)— 0, nous aurons à la fois, d’après ce que nous avons démontré sur le résolvant de deux fonctions entières,

> DU A(x, y) = 0 et 2 ÉANÉANNIEERe HEU2e, 6)

pour x = £ et y — 7; mais de ces deux équations résultent immédiatement les suivantes

AN) + ON ÉCMMIE OR AE Pts Oo.

Ainsi la fonction ÆR(z) joue, dans lé cas général que nous considérons, le même rôle que le résolvant dans le cas particulier de deux fonctions entiéres seulement. C'est pourquoi nous dirons que ÆÀ(z2), le plus grand commun diviseur des coefficients de la forme S(z, U, V), est le résolvant du système

[4 (x, y) A, (x, y) ares A, (x, y)|.

Nous allons montrer que tout systéme est équivalent à son résolvant. Et d’abord R(z2) contient le système [A,(x, y), A(x, y), ..., A,(æ, y)l. Nous obtenons, en effet, le résolvant S(z, U, V) des deux fonctions entières >> U,Ai(x, y) et 2 VAi(r, y) CNE

(i) en formant le résultant, par rapport à x, des deux fonctions 2 U;A,(x, 2 —ux) et 2 V,Ai(x, 3 — ux); (i=1,2,...p) l 0

il en résulte que S(z, U, V) est une fonction linéaire et homogène des deux fonctions entières de x, de y et des U, V,

DER uRet 2 V;Ai(x, y) GS) (à) i

dont les coefficients sont également fonctions entières de x, de y et des U, V. En ordonnant $, ainsi que cette fonction linéaire et homogène, par rapport aux indéterminées U et V, et en comparant les coefficients correspondants, nous aurons donc, si S(z2), (k = 1, 2, ..., 7) sont les coefficients de la forme primitive Æ(z, U, V), une suite de congruences

R(z) S®(2) = 0 [modd A,(x, y), Ax, y), ..., A,(&, y)

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pour k — 1, 2,..., Tr. Comme les fonctions S®(z) n'ont pas de diviseur commun et sont fonctions d'une seule variable, nous déduisons facilement de cette suite de congruences, celle que nous vouloñs démontrer

R(+:)=0 [modd 4,fx, y), A(x, y), ..., A,(x, y)l.

Apres avoir, dans les deux termes de l'égalité correspondante, chassé le dénominateur qui est une fonction entière de «w, il vient en comparant les coefficients des puissances correspondantes de « et en posant

R(2) — 2? r; (æ, y) uw (1=0:, 1512; tm)

ü r(&, y)= 0 [modd A(x, y), Ar, y), ..., A,(T, y)] G=012,.,m et, par suite, be, v), nie, ve, de, re, D=o [modd 4,(x;.9),. Ar, y} A EROIE

Cette dernière congruence ne contient plus aueune indéterminée. |

Si, comme toujours, nous supposons que les racines du résolvant R(z) ne soient pas multiples, chacun des éléments A(x, y), (à = 1, 2,..., us) contient également le système [r,(x, y), r.(&, y), ..., r,(&, y)l. Ilsuffit, pour s’en assurer, de démontrer que A,(x, y) contient le système

Z Ur;(x, y), 2 Vir(r, y)]. (i=0, 1,3, …., m)

Ici le raisonnement est identique à celui que nous avons fait pour dé-

montrer la congruence (x, y) =0 [modd H{x, y), KH(x, y)].

A l'aide de la formule de LAGRANGE, on forme d’abord une fonction entière E(y)a(x, y) vérifiant la congruence

E(y)4,(x, ÿ)= E(y)a(x, y) 2 Uri(x, y) [mod Z Viri(x, y)

où Æ(y) désigne une forme primitive des indéterminées U et V, dont

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 101

les coefficients ne dépendent que d’une seule variable; puis on en déduit, comme tout à l'heure, la congruence que nous voulons démontrer

A(@,-y)=0 [moddr,.(x; y), rx, y), ..., 7,(&, y)

UMR ES de #4 ORNE En joignant ce résultat à celui que nous avons obtenu à l'instant, nous pouvons écrire l'équivalence

AG, y) AE À, (æ, y) Ge [ro(x, y), sut: à TD y)].

Cette équivalence indique aussi, qu'a l’aide des indéterminées w, la fonction R(z:) remplace entièrement le système donné

PACA) Or ATEN

Comme deux systèmes équivalents à un méme troisième sont équivalents, nous avons ainsi démontré le théoréme fondamental: Tous les systèmes de fonctions entières de deux variables, ayant même résolvant, sont équivalents.

Dans le chapitre précédent, une des raisons données pour légitimer l'introduction des systèmes de diviseurs en Algèbre, était que toute fonction M(x, y) qui s’annule pour les systèmes de racines (£, 7) communs à plusieurs fonctions A,(x, y), (6 — 1, 2, ...) de deux variables, sans diviseur commun, est une fonction homogène et linéaire de A(x, y), A(t, y), ..., à coefficients fonctions entières de x et de y. Nous pouvons maintenant considérer ce théoréme comme démontré. Il faut toutefois que le résolvant X(z) des fonctions A,(x, y) ne contienne pas de facteurs multiples; la démonstration dé la congruence

M(r,y=oNmoddr,(x;:y), ir, (ru) de laquelle on déduit, d’après ce que nous venons de voir, ML YyI= 0 |modd 4;(&, y); 0%. Aix, y)

repose, en- effet, sur cette hypothèse. En cherchant à déterminer directement deux fonctions entières a(x, y) et f(x, y), vérifiant l'égalité

Mix, y) = a(x, y) ZUA (x, y) + B(x, y) 2 V,A,(x, y)

102 J. Molk.

on voit cependant que, même si les systèmes (£, 7) sont multiples, on peut encore vérifier la congruence cherchée lorsque la fonction M(x, y) s'annule pour chaque x — &, et y — 7;, au moins autant de fois que le résolvant Aux + vy).