Je dis enfin que la transformation du systéme

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en une seule fonction Æ(z) contenant l'indéterminée w, nous donne vraiment une décomposition, en systèmes plus simples, du système Hit, y), 2x, y), ..., A,(&, y)] dont les éléments n'ont aucun diviseur. commun.

Pour nous en assurer, décomposons dans un domaine de rationalité que nous fixerons arbitrairement, le polynôme Æ(z) en deux facteurs F2) et G(z) de sorte que

et supposons que

Fa) = EX fi(&, vu (0, 1, 2e, m) (D

G(z) = Egi(x, yjui. (=0;1, 0020 (D

Si, à la décomposition de Æ(2) en deux facteurs, correspond vraiment une décomposition du système donné en deux systèmes plus simples, il faut que réciproquement en composant de nouveau ces deux systèmes on obtienne un système équivalent au système donné. Or le produit de la composition des deux systèmes [f{(x, y), fic, y), …, ft, y)]-et [TE Y), BDs Y)s +, GT, Y)] est équivalent au système dont les éléments sont des produits de chaque élément du premier systéme par chaque élément du second, c’est à dire

au systeme FAC ACRO RE AO PU AC R I A CRNIT A CR EC CN MENU CA C7.

Les éléments de ce système composé ne peuvent être nuls simultanément que si, où: bien (4) 0, fe, 0) 10, M0, GO) EN OR DIen (TX; Y) = 0, Y1(T, Y) = 0, ..., 9,(X, Y) — 0, comme on s'en assure facilement; dans les deux cas les éléments de l’un des deux systèmes composants

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 103

sont eux-mêmes nuls. Il est d’ailleurs manifeste que F(z) — o est l’équation résolvante du système (f(x, y) = 0, fix, y) = 0, …, f,(æ, y) = 0] et que @(z) — 0 est l'équation résolvante du systéme

fr, 9) = 0, +. af, 9) = 0].

I faut done, ou bien que #{(z) s’annule, ou bien que G{(2) s’annule; R(2) n'ayant, par hypothèse, aucun facteur double, F(2) et &(2) sont premiers entre eux; il faut donc de toute manière que R(z) s’annule. Inversement, si pour 2 — = uE + 9, lona R(2h—" 0, ilLfaut. ou bien que Æ'(9) — 0, ou bien que G(£) — o; l’un des deux systèmes composants et, par suite, le système composé a donc tous ses éléments évaux A ZÉTO; POUr ZT =+Ë, y = y

Ainsi R(z) est bien le résolvant du système composé,

£@, v), Lé@, 9, LG, pla, y), ax, y), .…, a, Wl

Comme ÆR(z:) est aussi le résolvant du systéme donné