PARMI TAN) RE A CAO

nous avons démontré l'équivalence

PI CAN) PQ ACIER A CAONIICA CNE A CP) PERRET A CE )] PRET EUR ACL YLES. A (Tr, y)l

Donc, à la décomposition de ÆÀ(z) en deux facteurs, correspond une décomposition du système donné en deux systèmes faciles à déterminer.

Ce que nous venons de montrer pour deux facteurs est immédiatement étendu à un nombre quelconque de facteurs. Si donc, en adjoignant au domaine de rationalité les racines de l'équation résolvante R(z) — © nous décomposons le résolvant en ses facteurs linéaires, à chacun de ces facteurs linéaires correspond une partie du système

[A (æ, y) A, (x, ÿ) Vus A, (x, y);

à U(x — Ë) + v(y — 7), par exemple, correspond l'élément

(æ ET é, HU Mi)

104 J. Molk.

et nous pouvons écrire

[A (æ, ÿ) A, (+, y), rt A, (æ, y) be IT (x en Ji Yi)

Ce résultat, qui est loin d'être évident, est semblable à celui que M. KRo- NECKER a obtenu dans le paragraphe 20 de son grand mémoire, dans le cas général de # fonctions de x variables. Pour bien le mettre -en évidence, je nommerai chacun des facteurs (x — &,, y — »;) diviseur irréductible de rang deux du système donné; le mot irréductible se rapportant au domaine de rationalité qui a été fixé.

6. Il me reste à parler du cas où le résolvant a des facteurs multiples. Alors encore, nous pouvons résoudre le problème de l’élimination et obtenir toutes les courbes et tous les points du plan qui vérifient le système considéré. Mais si des systèmes d'équations nous passons aux systèmes de fonctions nous rencontrons une équivalence d’une nature plus générale que celle dont nous avons parlé jusqu'ici. C’est le théorème fondamental, démontré à la page 71, qui nous indique la généralisation a effectuer.

En nous conformant aux notations de ce théorème, nous dirons, mais dans ce numéro seulement, que le système dont les éléments sont les coefficients de la forme d, contient le système dont les éléments sont les coefficients /,, ..., f,, de la forme &, ou encore que la fornie d contient la forme ©. La forme contenant est donc racine d’une équation d’un degré déterminé p; dans cette équation, le coefficient de la puissance (9 — k) est une fonction homogène, de dimension k, des coefficients de la forme contenu, pour # — 1, 2,...,p. Comme ïl est manifeste que, dans le théorème cité, la forme @ contient la forme 4, les deux formes ç et 4, et, par suite, les systèmes de leurs coefficients sont encore dits équivalents. Cette équivalence comprend celle des numéros précédents, où 9 — 1. On voit de suite que 1° si a est équivalent à D, b est aussi équivalent à 4, et que 2° si a contient d, et si b contient €, a contient aussi c; donc que 3° si a est équivalent à D, et si b est équivalent à c, que a est aussi équivalent à c. On peut donc opérer avec ces équivalences comme avec les précédentes.

Ceci posé, je reprends les notations de ce chapitre et je suppose que

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 105

le résolvant R(z) contienne des facteurs multiples. Désignant par R! la dérivée de , par rapport à z, je pose

R, = R:Dv(R, KR); R, = R,:Dv(R,, KR);

il vient alors

Rier= 2 re, yju* = IT R,(2)

= i=1 y indiquant l'ordre de multiplicité le plus élevé qui paraisse dans les facteurs linéaires de ÆR(z) Chacune des fonctions R,(2) —- Z ri, y)u;

ne contiendra plus de facteurs linéaires multiples. Il en Hits d’après les théorèmes démontrés dans les numéros précédents, les congruentes

ur {0 (ÿ) : h=1,2,...,1 | 1,0 (médd rt; 0, 10); Sr

donc aussi A, = modd IT (x, ME di INRA TE

Mais, d'autre part, dans le sens général donné maintenant à l'équivalence,

4 est équivalent à 4, et IT (5, 0 ni est-équivalential (run, 23:74). A,, et, par suite, le système (4, 4,, ..., AÀ,) contient donc le système Go; ...,1,) . Il est d'ailleurs manifeste que (r,, "4, ..., r,) contient (45,024, , A,)2- Ainsi, dans le ‘cas où le résolvant a des facteurs multiples, les systèmes sont encore équivalents, si nous élargissons la notion d'équivalence dans le sens du théorème de la page 71.

Dans le même ordre d’idées, on peut énoncer le théoréme plus général que celui de la page 101:

Toute fonction qui s'annule pour les systèmes de racines communs à plusieurs fonctions quelconques, sans diviseur commun, est racine d’une équation algébrique dont les coefficients sont des fonctions homogènes déterminées des fonctions quelconques considérées.

M. Nzrro a le premier fait remarquer que cette équation est nécessairement binôme et de degré ».

7. Mais nous sommes loin d’avoir ainsi, résolu la décomposition des systèmes, dans le cas où le résolvant a des facteurs multiples. [1 nous faudrait pour cela démontrer qu'à chaque décomposition du résolvant en

Acta mathematica. 6, Imprimé 30 Juin 1884, 14

106 J. Molk.

facteurs, correspond une décomposition du système. Or ici se présente un fait bien remarquable. Le contraire peut avoir lieu. M, KRONECKER en donne un exemple dans le paragraphe 21 de son mémoire. Voici cet exemple: (x° + y, y”) est un systéme qui n’est certes pas irréductible, puisque le système (x°+y—o, y*—0o) contient le système (x — 0, y —0). Cependant, et ici parait, dans toute son évidence, la différence essentielle

entre les diviseurs de rang deux et ceux de rang un, le systéme

n’est pas décomposable en deux systèmes dont l’un est (x, y), comme il est facile de s'en assurer.

Il y a donc des systèmes qui ne sont pas décomposables et ne sont cependant pas irréductibles. Ces systèmes doivent répondre au cas où le résolvant à des facteurs multiples, puisque dans le cas des facteurs simples nous avons pu toujours effectuer une décomposition en facteurs irréductibles.

Nous pouvons encore énoncer ce fait de la manière suivante. Lorsqu'on compose de toutes les manières possibles les fonctions irréductibles d’une ou de deux variables on obtient toutes les fonctions de ces variables que l’on puisse concevoir. La même chose a lieu pour les systèmes de rang un. Eh bien, en composant de toutes les manières possibles tous les systèmes irréductibles de rang deux, on n'obtient pas tous les systèmes possibles, de rang deux.

On peut maintenant être tenté, ou bien de rejeter entièrement, comme impropres, les systèmes que l'on n'obtient pas par composition des systèmes irréductibles, ou bien de chercher à élargir l’idée même de décomposition. Mais dans ce dernier cas, il semble que cette idée perdrait tout à fait le caractere essentiel de séparation que l’on y attache toujours. Rejetons-les donc et ne considérons que les systèmes obtenus en composant, de toutes les manières possibles, les systèmes irréductibles de rangs wn et deux, de deux variables. Alors le problème de la décomposition des systèmes, toujours possible, sera entièrement résolu, que les facteurs du résolvant soient multiples ou non.

J'ai ainsi exposé simultanément la théorie générale de l'élimination, et celle de la décomposition d'un système dans le cas de deux variables seulement. Pour faire image, j'ai introduit les diviseurs de rang deux, en considérant des fonctions de deux variables et en ne tenant pas compte

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 107

des nombres entiers. En réalité, les systèmes de fonctions de deux variables, admettent non seulement des diviseurs de rang deux, mais aussi des diviseurs de rang trois et déjà les fonctions d’une variable admettent des diviseurs de rang deux, comme je l'ai fait voir, par un exemple, à la page 5 ce Maintenant que nous sommes familiarisés avec la notion de rang, il est facile de répéter les raisonnements de ce chapitre sur des fonctions d’une variable seulement, en tenant compte des nombres entiers.

UE

Cas général d’un nombre quelconque de variables.

1. La méthode que nous avons suivie pour étudier la décomposition d'un système formé par un nombre quelconque de fonctions entières de deux variables, indique clairement la voie que nous devrons suivre pour parvenir à une décomposition d’un système quelconque de fonctions entières. Elle nous empéche cependant de traiter ce problème dans toute sa généralité, en nous enlevant la possibilité de tenir toujours compte des cas où les résolvants que nous formerons, ont des facteurs multiples. Une méthode directe, dans laquelle nous ne supposerions pas connue l'existence des nombres algébriques nous permettrait, sans doute, d'éviter cette restriction. Il serait possible que la nouvelle généralisation de.la notion de contenant et de contenu donnée par M. KRoNECKkER, et dont j'ai développé le théorème fondamental dans le chapitre précédent soit suffisante pour arriver, dans cet ordre d'idées, à débarasser la théorie de la décomposition des systèmes de toute restriction. Pour le moment je me contenterai de résoudre le problème, parallèlement au cas de deux variables, en ne considérant que les systemes stels que chacun des résolvants que je formerai, n'ait pas de facteurs multiples. Soient donc

108 | . J. Molk.

un nombre quelconque de fonctions entières d’un nombre également quelconque désyariables x1,%1., FAST ARS RE PMR maine de rationalité dont font partie les coefficients des fonctions entières et dans lequel nous allons chercher à décomposer Ile système considéré en systèmes plus simples. ;

Nous commencerons par transformer linéairement les variables Lis Lay cs Ly EN. posant | :

La Z a, RL Fa

et en déterminant les coefficients af” de manière que pour # = 1, 2, ..., m, le degré de la fonction entière G,, par rapport à chacune des variables Dj, Lys ce, dy, SOit égal à la dimension », de cette fonction. Cette transformation est toujours possible; car si g,(4,, 2, ..., æ,) désigne l’ensemble des termes de la plus haute dimension de la fonction G,(x;, 2, ..., x,), nous avons |

AE Lo) Y Ÿ8] La) PES Jx (ar: + à + aire .…. ac pus + agite + idee + at?) = ge, a, ….., af} + gi(af, a, abat ” COTES ed CNCAIGE cie OO af) gr

et des termes de dimension », contenant plusieurs des variables x,, 4, ..…., %,. Comme, par hypothèse, g,(,, 2,,...,æ,) n’est pas identiquement nulle, nous pouvons toujours déterminer les systèmes af”, af, …., a%, (h—1,2,...,n) tels que pour ces systèmes g,(%, 2%, ..., @,) (= 1,2,...,"m)soit difié:

rente de zéro; -alors pour. k = 1, 2, ..., m; le devréde G(x, 2, par rapport à chacun des variables x, æ, ..., æ, sera bien égal à la

dimension », de cette fonction.

Si, par cette transformation G,(x,, %,...,2,) devient H,(x;, &, ..…., æ,) (k — 1, 2, ..., m), nous pouvons dire que des deux systèmes

fé G;, RP) Gn) et (KT, 1, FOND He}

sont équivalents et nous borner à l’étude de la décomposition du second systeme. ({,, H,, ..., H,) en systèmes plus simples.

Cette premiere transformation a, pour nous, un grand avantage. Aucune des fonctions À, H,,..., H,, ne peut, en effet, contenir un

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 109

facteur qui ne soit fonction de toutes les variables à, 25, ..., #!;

nous savons donc que tous les diviseurs de 77, H,,..., IL, sont de variété n°",

Nous pourrions maintenant, en appliquant les méthodes du chapitre deux, rechercher si les fonctions Æ,, H,,..., H,, ont un diviseur commun; mais afin de pouvoir considérer simultanément les différentes variables, Bis Los cs ny nous allons auparavant, comme dans le cas de deux fonctions de deux variables seulement, introduire une nouvelle quantité x fonction linéaire et homogène des variables 41, æ,,..., x! à coefficients indéterminées #1, W, -.., Un 1,< de sorte que

PA dam d ? + , À } ! An? : AT

D = Ut + Moto +... + Ut x + U,%,; REA Alors, en remplaçant x, par d'— ut — ut, —...—u, 2%, dans Heu des expressions H,(2,,%,..:-10), (K=— 1, 2, .{.,#).eten

supposant que par cette substitution H,(xi, x, ..., x!

) devienne , # 2 AT K, (x , XL: , Lo» COCA CETTE U;, Us , CCE CIE | Ho

nous devrons dire que, pour l’objet que nous avons en vue, les deux systèmes

D Dir D als da Æhahlus se uals)|

mn et BEN E Era M EE AE PEAU TN AI 7

7 À à 4 e L ; 7 Re, ie nina l rl lines, vis ou d)|

sont équivalents, car si nous pouvons décomposer l’un de ces systèmes en systèmes plus simples, nous pourrons manifestement faire de même pour son équivalent; la différence entre les deux systèmes est que nous considérons les éléments du second comme fonctions des variables m', Li, Le ..., Li, Sans tenir compte, pour le moment, de la relation L' = UXi + Ute +... + U,T,.

CHaCOTER dE ODERONS ACL), TS Re Dire Use Ua ere; Un) jouit encore de la propriété que son degré, par rapport à chacune des variables x’, æi, æ, ..., x, . est égal à sa dimension. Si donc nous formons le plus grand commun diviseur des fonctions Æ,, Æ,, ..., K,

110 J. Molk.

nous savons que ce plus grand commun diviseur que nous désignerons par E;(x, 10 Te cos La Unis Us ce) U,1)

contient foutes les variables x’, &, &, ..., «&, ,. Nous pouvons ainsi écrire OUR, Pas es plie SD ne? 0 ? sf T , L :

Ati E,(x’, Lis ces Lylys Us Uy-1) L; (x, Lis ces Lys Us Un)

ainsi que l'équivalence pr Éd