AS LE UT MOR (POIDS

Ceci posé, cherchons à décomposer en systèmes plus simples le systeme (L,, L,, ..., L,). Relativement à la variable x c’est à dire dans le domaine de rationalité (æ;,, m, ..", 2, $, A, hN, 1h); "rest équivalent à l’unité.

Dans le cas des fonctions de ‘deux variables nous avons formé le résultant des .deux fonctions et nous avons fait usage du théorème que ce résultant égalé à zéro est la condition nécessaire et suffisante à laquelle doivent satisfaire les variables qui y paraissent, pour que les deux fonctions, sans diviseur commun pour des valeurs indéterminées données à ces variables, aient précisément un diviseur commun. Nous avons ainsi pu déterminer outre les diviseurs ordinaires, communs aux deux fonctions et que nous pouvons nommer diviseurs de rang un, d'autres élérnents, communs aux deux fonctions, qui sont d'une variété moindre, ce que les points sont aux lignes en géométrie plane, et que nous pouvons, pour cette raison, nommer diviseurs de rang deux. Afin de pouvoir appliquer le méme théorème dans le cas plus général qui nous occupe et trouver ainsi Outre lé diviseur (4, Miss Dre ce te Ie OT VU représente une variété #°"%°, des diviseurs représentant une variété moindre, relions linéairement les fonctions Z,, L,, ..., L

m par deux systèmes d'indéterminées | |

(U,, De: ox AUOE 1) U,) et (Se Fe, ORCEU | V,)

et formons le résultant, par rapport à æ,., des deux fonctions

2 U,L, et 2 Fli

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 144

Ce résultant sera une fonction entière des variables x’, x!, ..., x!,, et HORS ARR ui Us. UV, Ve, 2, Pr: Nous le désignerons par

! / U . 3 . . . P S(r'r%:, ..) Vo; WU, WU, RS | Un; Ur 42.27 Us Pres Fish: tte una € (PPe

Le degré de UE, + U,L, + ...+ U,L,, par rapport à x!,, est manifestement égal à la dimension de cette fonction; il en est de même de celui de PL; E P,L, + ..1+V,L,.: Les coefficients a, et b, des-plus hautes puissances de ces fonctions ordonnées par rapport à æ,, sont donc des fonctions entières des indéterminées U et W, et sont, par suite, différentes de zéro, quelles que soient les relations qui lient les autres variables x’, 2, ..., x, .. Donc $ —0o est la condition nécessaire et suffisante pour que UL, + U,L, +...+U,L, et VL +V.L, +...+V,L, aient un diviseur commun.

Soient 8,, 81, ..., 8;"" les coefficients de $, considérée comme fonction des indéterminées U-et V; chacune des quantités 5°”, (k= 1, 2, ..., m.) est alors une fonction entière des variables #’, æ{, ..., «!, et des indéterminées w,-dont les coefficients font partie du domaine de rationalité ne) 11e systeme, d'équations s4—0, $ — 0, .., S— 0,

Came lé . 12 est vérifié, la fonction S, sera nulle, donc UZ, + U,L, +... + U,L, et VL, + V,L, +... + V,L, auront un diviseur commun; ce diviseur est indépendant des indéterminées U,, U,, ..., U, puisqu'il divise VL, + V,L, +... + V,L,; il est indépendant des indéterminés PR. PV puisquil divise UV + U, LH 0, Last est donc contenu dans chacune des fonctions ZL,, L,, ..., L,,. Inversement, si pour certaines liaisons des variables +’, x, ..., x,;, les fonctions L,, L,,..., L, ont un diviseur commun, il en est de même des deux fonctions U,ZL, + U.L, +... + U,L, et VL + V.L, +... + V,L,, donc $ —o. Rien n'empèche d’ailleurs de prendre autant de systèmes dindétériemedquesLOn eue CEE TE EU ep, PP. 3, F0, et de former pour chacun d’eux le résultant S” des deux fonctions

UT, = U;" L, 7 - CHA L Fe LEE et [4 KP 4x V; LL 1% Lt EE EE LE L,. Toutes ces fonctions S{°? seront nulles; elles ne différent que par les indéterminées qui y paraissent; donc les coefficients de ces indéterminées

seront nuls, et nous voyons que, dans notre hypothèse, le système d’équations

$1 = Où 80 OR O0 est vérifié.

Le. système. (550, 5° = 0, 14,08 =—°0)h eit lainsi entieremtens équivalent au système (= 0, L'=0, 000) Mais til sue système un grand avantage; il ne contient plus explicitement la variable x, ,. Chacune des fonctions s% contient, il est vrai, les indéterminées Us Ur se Un 13 lé système d'équations