CHAPITRE IL
Diviseurs des fonctions entières.
Divisibilité des fonctions entières dans un domaine naturel de
rationalité. (”
1. Une propriété fondamentale des nombres entiers est leur divisibilité.
Comme un nombre contenu dans un nombre # doit être nécessairement plus petit que », il suffit, pour trouver les diviseurs de », de voir si les nombres 2, 3, ..., (n— 1), sont contenus dans #. Un nombre fini d'opérations nous permet donc de montrer qu'un entier positif est ou bien un produit de nombres premiers et de #rouver alors ces nombres premiers, ou bien que # est lui-même nombre premier, c’est à dire sans autres diviseurs que lui-même et l'unité. Dans le premier cas on dit que n est un nombre composé, et l'on montre à l’aide de l'algorithme du plus grand commun diviseur que sa décomposition en facteurs premiers est univoque.
Il en est de même des fonctions enticres à coefficients entiers.
Considérons d’abord wne fonction d’une variable. Ses coefficients peuvent avoir un diviseur commun que nous savons trouver par un nombre fini d'opérations, comme je viens de le rappeler. Nous pouvons ainsi mettre toute fonction entière à cocfficients entiers sous la forme d'un produit dont l’un des facteurs est un nombre entier et l'autre une fonction entiére dont les coefficients sont des entiers sans diviseur commun. Dans des recherches sur la divisibilité des fonctions enticres il est done permis de supposer les coefficients de chacune de ces fonctions; sans diviseur commun. |
Considérons ensuite deux fonctions d’une variable, F(x) et G(x). Lorsque le quotient de F(x) par G(x) est une fonction entière à coefficients entiers, H{(x), nous dirons que F(x) contient G(x), est divisible par G(x)
(”) Comparez KRONECKER, Journal de CRELLE T. O4 et Festschrift ? 4.
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 11
et que G(x) est contenue dans F(x), est un diviseur de F(x). Nous écrirons, soit (x) = H(x)G(x), soit F(x)=0o (mod G(x)), suivant qu'il convient de mettre en évidence la fonction H{x), ou non.
| Je vais montrer comment l’on peut, ou bien trouver tous les diviseurs d’une fonction donnée F{(x), ou bien montrer que cette fonction F(x) n'a pas de diviseur. Si le degré de Fix) est 2n ou (2n + 1) il suffit évidemment de donner une méthode permettant de trouver, à l’aide d'un nombre fini d'opérations, ses diviseurs de degré au plus égal à ». Mais d'après la formule d’interpolation de LAGRANGE toute fonction éntiére ®(x) de degré au plus égal à #, peut étre mise sous la forme
de) = À 00 À
\ Ci MARIO À
S(x) le produit
désignent (n + 1) nombres arbitrairement choisis et
En posant Ron TA) I RE) = Ft)
et
Dec nous ordonnons (x) suivant les fonctions g,(æ), de degré ». Nous avons ainsi DR) = cu, (a k=0 O7 (rl aobponrahe k;: etig. (ri L.
Pour que (x) soit contenue dans F(x), il faut que ©(r,) — c, soit contenue dans F(r,), pour k— 0, 1, 2,..., n. Cherchons donc tous les diviseurs positifs et négatifs du nombre F(r,); ils seront en nombre fini; désignons-les par c,, G,, cy, ..., cÿ"n. Répétons cette opération pour À — 0, 1, 2,..., h; nous aurons certainement un nombre fini
12 J. Molk.
n de combinaisons Zc;g,(æ). Chacune de ces combinaisons peut être un k£=0
diviseur de F{(x) et il ne saurait y avoir d'autre diviseur de F(x). Un nombre fini de divisions de deux polynômes nous permet donc de voir si F(x) contient un facteur à coefficients entiers ou s'il n’en contient pas.
Nous pouvons maintenant, les nombres entiers étant considérés comme des fonctions entières de degré zéro, partager en deux classes les fonctions entières à coefficients entiers: Celles qui en contiennent d’autres; nous les nommerons réductibles. Et celles qui n'en contiennent pas d’autres; nous les nommerons irréductibles.
Dans la pratique les calculs se simplifient; mais ici l'important était
de montrer que la réductibilité et l’irréductibilité des fonctions ont un sens algébrique, et que nous avons, par suite, le droit d'introduire ces notions dans la science qui fait l'objet de nos recherches. Si F(x) est contenue dans F(x) nous répéterons sur Æ(x) les mêmes raisonnements que nous venons de faire sur (x), et comme le degré de chaque diviseur est plus petit que celui de la fonction dans laquelle il est contenu, un nombre fini d'opérations nous permettra de décomposer F(x) en un produit de puissances de fonctions entières irréductibles.
2. Cette décomposition est univoque. En effet, si le produit ®(x). Y'(x) de deux fonctions entières à coefficients entiers, est divisible par une fonction irréductible F(x), l’une des deux fonctions ®(x), W(x), est ellemême divisible par F(x). Lorsque F(x) se réduit à un nombre premier, la démonstration se déduit immédiatement du théorème qu'un produit de deux nombres ne peut être divisible par un nombre premier p que si l'un des deux nombres est divisible par ‘p, et ce théorème est un corollaire de l'algorithme d'Evczipe. Lorsque le degré de F(x) est plus grand que zéro, si ®(x) n'est pas divisible par F(x), comme F(x) est irréductible, D(x) et F(x) n'ont point de diviseur commun. Mais alors, à l’aide de l'algorithme d’'Eucrine étendu aux fonctions d’une variable, nous pouvons toujours trouver deux fonctions entières ç(x) et f(x) vérifiant l'égalité
ou
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 13
Comme, par hypothèse, le produit @(x)W(x) est divisible par F(x), cette égalité nous montre que F(x) est contenu dans #'(x), en ce sens, du moins, que
ms We) =.F(x).G(x)
G(x) étant une fonction entiere à coefficients entiers, et » un nombre entier.
Gauss a le premier démontré(*) que si une fonction entière à coefficients entiers est le produit de deux fonctions enticres à coefficients rationnels, elle est aussi le produit de deux fonctions entières à coefficients entiers. La démonstration est élémentaire et se déduit du théorème cité, que si le produit de deux fonctions entières à coefficients entiers est divisible par un nombre premier p, l’une de ces deux fonctions est ellemême divisible par p. | |
Comme les coefficients de W'(x) sont entiers, et que F(x) est irréductible, nous voyons donc ici que » divise tous les coefficients de G(x).
Supposons maintenant que, par le procédé indiqué plus haut, nous obtenions deux décompositions d’une même fonction entière à coefficients entiers, et, par suite, l'égalité
ï s, : Paie pi. [I PÈ(x) = [or Il 7 (x) CE 1) Del 2e dans laquelle p, q, à, 8, pm, o sont des nombres, p et g, en particulier, des nombres irréductibles, et P(x), Q(x) des fonctions irréductibles. | Le nombre p,, par exemple, est alors manifestement contenu dans le terme de droite de cette égalité; chacune des fonctions Q(x) étant irréductible, il faut que p, soit contenu dans le produit II q" (r=1, 2, .…, b) Gr donc qu’il soit égal à l’un des nombres g,, g,, ..., g,. En divisant par ce nombre les deux termes de l'égalité, et en répétant le même raisonnement pour chacun des entiers p et pour chacun des entiers g, aussi longtemps qu'il en reste, nous voyons que l'égalité précédente se réduit à
I PE (x) = 1 Q(x). Er
(”) Disquisitiones arithmeticæ, p. 42.
14 J. Molk.
Mais alors, à cause du théorème précédent, la fonction érréductible P (x) est égale à l’une des fonctions irréductibles Q(x). Divisant, de part et d'autre, par cette fonction, et répétant le même raisonnement sur chacune des fonctions P(x) et Q(x) autant de fois que cela est nécessaire, nous voyons que les deux décompositions de la fonction donnée en facteurs irréductibles, sont identiques.
3. Considérons maintenant une fonction de plusieurs variables indépendantes
FL, CSN
En posant
Le VEN gel DD PE PE
et en choisissant y assez grand pour que tous les termes du polynôme F(x’, x”, ve 1e #
sokent de degré différent en x, nous transformerons ce polynôme en une
fonction d’une seule variable, @(x), dont tous les termes sont linéairement
indépendants, Il est commode de considérer tous les exposants de x
comme des nombres écrits dans le système dont la base est 9. On voit
alors immédiatement qu'il est impossible que F(x', x”, ..., 4%) ait un facteur quelconque lorsque. d(x) n’en a pas; car à toute égalité
Fa", RUN. Re) = FRS Cr CU MAC MERE en correspond une autre
®, et ®, désignant les transformées respectives de Æ et F,, par les substitutions indiquées. Pour reconnaître si Æ(x', x”, ..., «®) a des diviseurs ou non, il suffit donc de rechercher tous les diviseurs possibles de (x), ce que nous savons faire à l’aide d’un nombre fini d'opérations, puis de voir si les fonctions de plusieurs variables qui correspondent à ces diviseurs sont vraiment facteurs de F(x', x”, ..., x") ou non, ce qui n'exige qu’un nombre fini de divisions.
Il est donc légitime d'étendre l'idée d'irréductibilité aux fonctions de plusieurs variables indépendantes. Nous allons en donner une seconde
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 15
démonstration, une démonstration par induction; elle nous fera voir plus complètement l'analogie qu'offre la divisibilité des fonctions d'une et de plusieurs variables indépendantes.
Supposons que nous puissions décomposer en ses facteurs irréductibles, chaque fonction entière à coefficients entiers de # variables indépendantes, Gi, Ti) -.., 4. Comme nous avons été amené à le faire pour les fonctions d'une variable, nous dirons que ç(x,, #,,..., #,) est contenue dans une fonction donnée f{x,, æ,, ..., x,) lorsque cette derniére peut être mise sous la forme d'un produit de deux fonctions entières à coefficients entiers, dont l’une est précisément o@(x,, æ,, ..., æ,); et par hypothèse nous pouvons trouver tous les facteurs de f(x, x,,..., æ,), toutes les fonctions contenues dans une fonction quelconque de # variables.
Soit maintenant une fonction de (7 + 1) variables indépendantes
JE S SRERRTRRE AT
Ordonnons cette fonction par rapport à x, , et désignons par f(x, ,#,,...,#,) le coefficient de 25. Toute fonction de x,, #,, ..., æ, contenue dans F(x,,%,,...,x,) est facteur commun de toutes les fonctions f(x, , &,, ..., +) que: nous savons décomposer en leurs facteurs irréductibles. Nous pouvons donc décomposer F{x,, x, que de # variables, et dont l’autre G(x,, æ,, ..., æ,) ordonné par rapport
.., æ,) en deux facteurs dont l’un ne dépend
à æ, à des coefficients sans diviseur commun. Mais alors nous pouvons
répéter sur G@(x,, &,, ..., æ,) considérée comme fonction de x, seulement,
les mêmes raisonnements que nous avons faits sur F{(x) tout à l'heure. Seulement les coefficients ne sont plus des nombres entiers, mais des fonctions entières à coefficients entiers de #,, x,, ..., æ,. (Conservons les mêmes notations que dans le cas d'une variable. La formule de LAGRANGE nous fait voir qu'un nombre fini d'opérations suffit pour reconnaitre si
