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De l’équation résolvante.

1. Le but que l’on se propose dans le théorie générale de l’élimination est de reconnaître la nature des restrictions apportées à la variabilité d'un nombre quelconque de quantités variables par un nombre également quelconque d'équations algébriques reliant ces quantités.

Dans la théorie de l'élimination proprement dite, on étudie de plus prés les systèmes d'équations algébriques soumis à des conditions plus spéciales, particuliérement ceux où le nombre des équations est égal au nombre des variables.

Acta mathematica. 6, Imprimé 7 Juillet 1884. 17

130 J. Molk.

Nous nous occuperons ici exclusivement de la théorie générale de élimination. |

C’est DESCARTES qui, le premier, considéra la solution d’une équation f(x) — 0, comme la recherche des restrictions apportées à la variabilité de la quantité essentiellement variable x, par la condition déterminée F(x) — 0. Avant lui, on n'avait envisagé la résolution des équations que comme la recherche des valeurs qui, substituées aux inconnues, vérifient les équations données. Dans la théorie générale de l'élimination on néglige entiérement ce dernier point de vue et l’on se place à celui de DESCARTES en l’étendant à un nombre quelconque d'équations entre un nombre également quelconque de variables. Le mot éliminer n’a pas le sens de laisser de côté, mais au contraire, celui de fixer, en les séparant, les restrictions apportées à la variabilité de plusieurs variables, par des équations alsébriques. è Soient donc

G;(; Loy cs Ty) — O, (E=1, 2, M)

m équations algébriques reliant les # variables x,, %&,, ..., æ,. Les coefficients des fonctions entières G,, G,, ..., @, font partie d'un domaine de rationalité donné sur lequel nous n’avons aucune prise. Nous avons prise au contraire sur les variables x,, %,, :.., æ,, et nous cherchons la nature des restrictions apportées à ces variables par les équations considérées. Comme le domaine de rationalité peut lui-même contenir autant de variables que lon veut, le problème ainsi posé est plus général que si l’on se proposait de trouver la nature des restrictions apportées à toutes les variables paraissant dans les polynômes G; St 2 CCG RER leé relations G, =D, Ge 0 Ne

Les restrictions dont nous parlons se distingueront tout d’abord par le plus ou moins de variabilité quelles laissent aux quantités Lis Los +. 2, Nous devons donc chercher, avant tout, à transformer le système d'équations

en un autre qui, tout en lui étant équivalent, sépare nettement les différents degrés de variabilité que possèdent encore les quantités #,, 2, ...,4,.

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. ; Ac 4

L'analogie de ce problème et de celui dont nous avons exposé la solution dans le chapitre précédent est manifeste; la seule différence est, qu'au lieu d'un système de fonctions, nous considérons un système d'équations, et que, par suite, au lieu de la transformation du système (CRC tent, R;,,.,..,:R, nous ,obtenons. celle du système d'équations |

CEA Cr 2e 0