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sont donc absolument les mêmes.

Nous sommes ici dispensés de rechercher, comme nous l'avons fait dans le chapitre précédent, la nature de l’équivalence des systèmes (ZW, LS, ..., LY) et de ceux dont les éléments sont les coefficients des formes #,, ce qui simplifie considérablement le problème. Il n'y a plus d'équivalence propre ou impropre; l'équivalence mdique tout simplement que les restrictions apportées à It variabilité de x,, à, ..., æ, par le système d'équations données et par son équation résolvante sont identiques; nous pouvons donc écrire

(G — 0, PE, ep ER 0) RU TR Late ER

-De plus, le problème général de l'élimination peut toujours étre résolu, tandis que nous avons vu que celui de l’équivalence des systèmes ne peut l’être complètement que si les différents résolvants n’ont pas de facteurs doubles. IL est vrai que cette restriction qui est, comme nous l'avons vu, dans la nature des choses, puisqu'il y a des systèmes non décomposables sans être irréductibles, a une fâcheuse influence sur la théorie générale de l'élimination. Elle nous empéche de tenir compte de l'ordre de multiplicité des solutions du problème. Aüïnsi, en appliquant la théorie de l'élimination à la géométrie, nous isolerons certainement toutes les surfaces, courbes et points donnés par un nombre quelconque d'équations entre trois variables x, y et z; nous marquerons fous les points de l'espace dont les coordonnées vérifient simultanément les équations

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 133

données; mais si À sont ces surfaces, B ces courbes et C ces points, il se pourrait fort bien que les surfaces représentées par les équations données eussent, par exemple, outre les points C un point commun sur B, sans que nous obtenions autrement ce point que comme un des points de la courbe B. |

Pour ne pas être obligé de changer de notations dans le courant de ce chapitre, nous désignerons tout de suite par À,, non pas le plus grand commun diviseur des fonctions A7?, A9, ..., Ki

mn. Mais le quotient de ce plus grand commun diviseur et du plus grand commun diviseur qu'il a lui-même avec sa dérivée par rapport à 2%, de sorte que, si pour un instant À, représente encore la fonction considérée jusqu'ici, notre

nouvelle fonction À, sera égale à

k;, Dv (R, ) D, k,)

c’est à dire à l’ancienne fonction À, débarassée de ses facteurs multiples. Comme nous ne pourrons tenir compte. des solutions multiples, ce n'est pas une restriction que nous faisons là. |

2. Dans ce qui va suivre, nous interpréterons chacune des expressions R, indépendamment de toutes les autres, en recherchant de quelle maniere chacune des équations À, — © limite la variabilité de x,, %,..., 2. Nous pourrons donc supposer que les systèmes de variables que nous avons distingués en affectant les quantités 4, 4, ..., æ, d'indices supérieurs soient tous les mêmes; cela-revient simplement, géométriquement parlant, à interpréter chacune des équations À, — © dans un autre systéme de coordonnées en nous réservant de choisir convenablement chacun de ces systèmes. Mais pour éviter toute confusion nous désignerons par

Yis Yas eee s Un

au lieu de x,, %,, ..., x,, les nouvelles variables considérées; ce sont des variables se rapportant à un systéme d’axes coordonnés mobiles. Nous désignerons de même par y la fonction linéaire à coefficients in-

déterminées

y ss Yi fe Ua + Ci ie + UiYn 5 Un ms et PC

134 J. Molk.

Nous aurons alors, dans le domaine de rationalité donné, l'équivalence

[Gi (y; Yo °° "00 Yn) ….; Gi Yo RP EE) Yn)] R(y, Yis ces Uno Us ce, u,) X LH; (y, Vis cos Yn-os Us ces Un) .. HA Vis ces Yn-os Us es u,)].

En posant

y Ta Ur-19 ne ViY + 4 «m Vn-2Yn 9 3 Via =

et en remplaçant y par sa valeur tirée de cette équation, 11 vient

CH; (y, Vis ces Yn-os Us ss Un); H, (y, Yis vs TTEER Us...) u,); .…. 5 (95 Vas es Yn-oo Us 5 u,)] TRY gi 4e Mis sn SU) (UOTE CR PU ENTREE ce (Vis ces Ynss Wii see U)] R? R;(y', Vis ces Yn-os Us vees Un Vis ces PES X CZ (y, Vars Un—93, Wir °°) Un); se...) L, (Y'; Vis ces Yn-os Us ce.) u,)]:

Le résultant S, sera ensuite pris par rapport à y, , comme tout à l'heure

par rapport à +, ,, et ainsi de suite; mis, après avoir introduit chaque nouvelle fonction linéaire à coefficients indéterminés, #y®, c’est y ét non pas Y,, par analogie avec x, ,, qu'il faudra remplacer dans le systéme considéré par sa valeur tirée de cette relation. | D'ailleurs, en “désignant: par ui), USE UV (st RCE NAN nouvelles indéterminées on a

VI ne ui: + Ur + A0 + TAN PU à Ur 1Yn1 GR UyY»

: TT re ] et, en general, CE) = ,)y(E) 214) 91%) = 914 — 1), y SE S U; Yi + Us Yo + Ch + Uny 1] Yn- 51 + Un-x Yn—k + san u T'as an Uy oYn 0 an Un Yn=1 rt Uni n° Œ=1,2,...)

Nous obtenons ainsi l'équivalence À # CE Grs Vos ses n) = 05 Gris Vars Un) = 05 +405 Gin Yes ces Un) = 0]

n a) ; ; 911) :=s = [Ir » Vis Var ces Yn-ns WMismees Ungy ses Ui ut) = o|.

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 135

De ce que, les quantités uf?, uÿ, ..., u® désignant toujours des indéterminées, l'équation résolvante ÆR,R, ...R, — © est la conséquence nécessaire et suffisante du systéme d'équations &, — 0, G, —0,..., 4, —0, nous allons déduire une transformation importante de cette résolvante qui nous fera clairement voir le rôle fondamental que jouent les indéterminées u®, uÿ”, .-., u®, dans la théorie générale de l'élimination.

A cet effet nous allons d'abord rechercher toutes les valeurs de chacune des variables y, Y, ..., Y, qui peuvent vérifier le systéme donné. Commençons par la variable y,.

Les expressions g, 9’, y”, ..., y

se transforment toutes en ,, lorsque nous substituons aux quantités indéterminées %,, W, ..., Uy 1, Unis Vas c.. » Un-2s ---, W,, la valeur zéro. Si donc nous répétons tous les raisonnements qui nous ont amené à la décomposition du système donné sans faire aucune substitution linéaire à coefficients indéterminés, ce quivrevient à remplacer y, y, y”, ..., y"? par %,, nous pourrons dire que le résultat obtenu est le même que tout à lheure, à condition de substituer aux indéterminées les valeurs zéro, à l'exception de Unis Vn-os ++.» Ws, qui sont définies égales à l'unité. Nous obtiendrons

ainsi l’'équivalence