T TU—M/,A-D , G—D
DENT ques CEE RSA A) ÉOURET. No 2113 (030 END DEEE CRE
ne 1) (A=1):, —— > FAN LS Ya > Vi» Yo ZA ON | Uk 3 Vn—k+1 O, O, 2 TE 15 O, RE Er
et, par suite, simultanément
=) =) .ge . er LES Por » Yi» Ya see) Yn-x) Ank+13 O, O, ..., 15: Os DE
Ae1,2 0 MD)
comme nous nous en assurons facilement en considérant un nombre assez grand de systèmes d’indéterminées U et 1 auxquels correspondent, il est vrai, des résultants 8f°, différents, mais cependant la même fonction Aÿ.
pit toutes les fonctions ZŸ#-? sont nulles pour y, = 797? et
Una — Y4 7 il en sera de même du résultant S}”, des deux fonctions
ca
Ft NE (k—1) ; + .
De » Yaris Vos es Ya=rpios Yn-pps5 Os O, +++, 15 O, +)
et
Er | (1) ’ (—1) . .
Ÿ r,2, (y » Yis Vos ee; n-kyis Yn-pyrss O5 O$ ..., 1; 0; tn,
qui est pris par rapport à 9,142; car KT) =R, "7/0 et les systemes désignés" plus shaut ‘par (ss) SN PER RE K#®, ...): sont ici identiques De ce que Sf, est nul pour y, = 990 et Y yri = Yi » nous concluons comme tout à l'heuresqual
y a sûrement une valeur de y, 4»,
ii 1 Ynx+2 x re
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 137 telle que toutes les fonctions
(—3)[,,(—1) (&—1) CEURS L, (rx ? Yi V2 » Sep 7) Un—k » Mn—k+1 » Mn—k+2 3 O, O, ..., T'; O, ARE)
soient nulles simultanément.
En continuant ainsi, nous voyons enfin que le résultant Sf° est nul, pour | .
ED: — né). MED, ë (1 Yn +4 Vu ri Yn—k+1 : Vn—k+1 Un-r+2 4 Qn- ÉDITEUR S Yn—92 ES. Mn 2 k | 4 Le \ ; 4 # e résultant est pris par rapport à y,,. Îl y a donc nécessairement une valeur de y, ; )
Yn—1 Fe Vn—1 telle que les équations
() (k—1) (4—1) INT = L, (y > Vis Yas Yn-hs Mn—k+1) n—k+2 9 CHOMONE n—1 ) — O (h=1,2,..,,m)
et, par suite, aussi
4 (k) (4—1) (&—1) (RUES K, (rm 9 Vis Vos ces Yoko Qn--ktis Qn-kt29 + ee 5 Mn ) — O (G=1,%..,m)
soient vérifiées simultanément. Mais D di 1 GNU Mist Ua 1 Ve) (h=1,9,.., m)
nous pouvons donc énoncer la proposition suivante: À toute racine 7% © de l'équation ÆR}° — Oo correspond un système
au moins
(k—1) (k—1) (&—1) n—k+1 , Vn—k+2 9 ROC Yn—1
tel que les équations
(k--1) (k—1) (k—1) Œ—1N Gi Yos sous Yn ks Mn—kt1s Mn-k+2s © +55 Qn—1 9 Vn ) = 1. f (k—1) (E--1) RAD MEET) Le Gay; UPE HEURE Yn- k° Vn—k+1) Mn—k+2 QE AS Yn—1 ? Yn ) FC
(&—1) (&—1) (E—1) (RDS Gi; UPE JOUR A Yan» n—k+1 5 Mn —k +9 CRE n—1 ? Yu ) <=: 0
soient vérifiées simultanément.
Acta mathematica. 6. Imprimé 7 Juillet 1884. 18
138 1F Molk.
Ceci a lieu pour k— 1, 2,;..%, n. Ainsi àfchaquerracinem#} de chacune des équations Rf° — 0,.R — 0, ..., R®° — 0, correspondent respectivement des valeurs de-0, 1, ..., (n— 1) des autres variables qui, jointes à », elle-même, vérifient simultanément les équations données. Nous obtenons donc des variétés différentes satisfaisant au problème, suivant la résolvante À, — © dont nous considérons les racines après avoir substitué aux indéterminées la valeur zéro.
Inversement si & est une valeur de y, qui permette de vérifier simultanément les équations G = 0, G, —,0,..., G, —0,"il faut que; ou bien ÆR{° soit nul pour y, = &,, c'est à dire que &, soit égale à l’une des racines y, précédemment définies, ou bien que toutes les équations
LC Yis Yas es Yn-25 O» O; .. 1) 10 (4=1,2,...,m)
soient vérifiées. Dans ce dernier cas le résultant 8°? s’annule pour Yn = 3 done, ou bien R°(6,) — o et alors &, est égale à l’une des y, auxquelles correspondent, dans notre notation, des valeurs de #,;, Ya = Y, 1 telles que
' , Gi (y 5 V2» pers Yn—9 9 Mn—1 » 7») = (0 (i=1,2, 00
ou bien toutes les équations 4 . LL — A (er Yi Yo AM) Yn—3 5 O, O, Ar] T'; 0, 0; FN 1) = 0
sont vérifiées. Ainsi de suite. Enfin, ou bien AŸ° s’annule pour y, — &,
et alors & est égale à l’une des racines 77°? auxquelles correspondent
des solutions
(n—1) (n—1) (n=—1 M ; > PRE NET telles que —1) (n—1 (n—1 (REDNEZ Gi , ® ES ET y AE ) = 0, (=1,2,.., m)
ou bien toutes les fonctions
j ==) 0 + Le 17 O; 0 s IS D I, HP RE ET O, 1) (a=1L2 00m
nl
s'annulent pour y, — &,. Ces fonctions étant sans diviseur commun, cette dernière alternative est impossible. Donc toutes les valeurs de y, pour
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 139
lesquelles les équations @&, = 0, (h — 1, 2, ..., m) peuvent être vérifiées simultanément sont nécessairement racines d’une des équations R!° — 0, (re 20 En
Si nous n'avions pas simplifié l'écriture en considérant les variables y au lieu des variables x, rien ne serait changé au raisonnement luimême, comme on s'en assure facilement; les variétés obtenues seraient du même ordre; seulement l'énoncé de chaque transformation serait beaucoup plus long, puisque toujours des fonctions linéaires, à coefficients entiers, des éléments considérés remplaceraient chacun de ces éléments.
Pour trouver de même toutes les valeurs de la variable #, ;, (= 1, 2,...,(n—1)] pouvant vérifier simultanément les équations G = 0, (k— 1, 2,..., m), nous opérons d’une facon tout à fait analogue. Seulement au lieu de substituer à toutes les indéterminées PR DES POUR Vans dr Do ns es see , W,, la. valeur zéro, nous excepterons #,; que nous remplacerons par l’unité. Alors toutes les expres- MOTS 7417204 Um ECrONL remplacés par Yi + Y,3 nous considérerons tous les résultants comme fonctions de cette variable, y,,; + y,, ce que nous indiquerons en les affectant de l'indice supérieur (n — i). Sauf cet indice supérieur rien n'est changé au raisonnement précédent. Done, toutes les valeurs de y,,; qui vérifient simultanément les équations 0 10 7... 4, == 0, sont nécessairement. télles que y, y, soit racine de l'une des équations R°° — 0, (K = 1, 2,...,n). En rapprochant ce résultat du précédent nous obtenons toutes les valeurs cherchées de y,,; elles sont fonctions alsébriques d’un nombre de variables indépendantes qui dépend de l'indice Æ de la fonction A? dont y, ; +, est racine. Tout ceci a lieu pour à = 1, 2, ..., (n— 1).
En résumé, tous les systèmes de valeurs qui vérifient simultanément
les équations Gigi; Yo vs V0; Gay; Yas ve. Ya) SR s..) Gi V2 er Ua) 0;
se composent 1° de fonctions algébriques d’un certain nombre de variables Yi Yes. Y, et des éléments du domaine de rationalité donné; 2° de ces variables elles-mêmes qui restent indépendantes. Les fonctions algébriques dont nous parlons sont toutes comprises parmi les racines des
équations (n—i) __ ‘i=0,1,2, CS tir Fe (PA PAR n
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de maniere qu'à chaque valeur de à corresponde spécialement un des indices de y. Le nombre de variables restant indépendantes dépend de l'indice k; il est toujours égal à n—%, de sorte que pour 4 = n, ïl est nul.
3. C’est ainsi que l’on peut trouver sans aucun artifice tous les systèmes possibles vérifiant simultanément les équations
