EC

15 Tor -.., %,) à des diviseurs ou non et dans le premier cas,

pour trouver ces diviseurs. Pour que ®(x,; x, %,, ..., æ,) soit contenue

dans MOT 0 2 Mablfaut que dir; tds... @,) soit, contenue dans G(r,; æ,, &,, ..., æ,). Par hypothèse, nous pouvons trouver

tous les diviseurs d’une fonction de # variables seulement; nous pouvons donc, par un nombre fini d'opérations déterminer tous les systèmes €, pour

lesquels Z G:9:(%0) peut être diviseur de G(x,; x .…, #,); un nombre

OAV A).

(12 Lo)

fini de divisions nous donne enfin tous les facteurs de G(x,; æ,, x

16 | J. Molk,

Cette méthode nous permet de mettre F(x,, *,,..., æ,) sous la forme d’un produit de fonctions irréductibles indépendantes de *,, et de fonctions qui, considérées comme fonctions de x, seulement, n’en contiennent. plus d’autres. Nous allons maintenant montrer que cette décomposition ne saurait dépendre du choix de la variable suivant laquelle nous ordonnons la fonction Fx,, æ,, ..., 4).

IL suffit, pour cela, de démontrer que si le produit de deux fonctions (x, irréductible w(t ,4,, 1.1.1, %

my ea) set (a, ,'ueshr) v-est : divisible parue "fonthon ), l’une des deux fonctions ® ou #', est divisible par ©. |

Soient

D= a + ax Far, +." D = db, + b,x, + br +...

les a et D désignant des fonctions entières à coefficients entiers de Lis Los cos Le Ni ® nest pas divisible par g, et si a, est le premier des coefficients 4 ne contenant pas ©, l'expression

DURE Ur OR EEE &120 )#

et par suite (aa, + ant + ..)(b, + bin, + bai +...)

sera divisible par &. Il en résulte que les coefficients de toutes les puissances de x, sont divisibles par ç; ces coefficients sont

ab, ab, + 1 ARS a; D, 7 Gi, JE HARRIS ….

Supposons que si le produit de deux fonctions de # variables seulement est divisible par une fonction irréductible, également de x variables, l’une des deux premières fonctions soit nécessairement divisible par la derniere;

nous voyons alors que a; n'étant pas divisible par ©, db, contiendra o;.

donc aussi ab, et par suite D; donc aussi ab, et par suite b,; etc. Tous les coefficients de #'(x,) contenant ç, il en sera de même de Ia. fonction Y'(x,) elle-même, et le théoréme est démontré.

Ceci posé, considérons un des facteurs f{x,, %,, .….,x,) de F(x,, &,,...,%,);

nous pouvons supposer que la fonction f{x,, x, ,..., x,) ne contienne pas de

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 17

facteurs indépendants de x,; car si-elle en contenait nous pourrions les déterminer et les joindre aux facteurs de F{x,, x, ..., x,) indépendants de *,.

Puisque F(x,, x, ..., x,) considérée comme fonction de x,, est divisible par f(x,, æ,, ..., æ,), nous avons, en désignant par k une fonction entière des (x + 1) variables «,, x entière des # variables +, x

Hu... 2, et par A une fonctiôn

5 Ve RES : Va

Maïs Æ° est une fonction entière des (n + 1) variables æ,, æ,, ..., * donc la fonction (x, ..., æ,) est contenue dans le produit f.k; et comme X n’est pas contenue dans f, il faut, d’après le théorème démontré, que À soit contenue dans #; nous avons ainsi

D D Mu. 2 ml0 (mL, 4%) is)

f et g étant des fonctions entières des (7 + 1) variables #,, æ,, ..., x Nous pouvons donc ou bien décomposer une fonction entière donnée

classer les fonctions de plusieurs variables indépendantes, comme celles

o Ty +. %,) en d’autres fonctions entières, ou bien montrer que

Don. %,) ne contient aucun facteur entier, et, par suite,

d’une seule variable, en fonctions réductibles et irréductibles; nous pouvons alors énoncer le résultat obtenu en disant que toute fonction entière à coefficients entiers est décomposable en ses facteurs irréductibles.

Il nous reste cependant à montrer que le théorème supposé exact pour x variables indépendantes, dans le courant de la démonstration précédente, l’est encore pour (7 + 1) variables indépendantes.

MRDroOutAO ET Te, dt, (rt). æ,) est divisible par la fonction érréductible f(x,, contient aucun facteur indépendant de x,, et si ®(x,, x, contient pas f(x,, æ., ..., æ,), ® et f considérées comme fonctions de x,

By... ); qui, étant irréductible, ne tie

seulement, seront également sans diviseur commun, et, par suite, nous

pourrons déterminer deux fonctions entières de #,; æ,, æ,,...,2,; ®, et 9 S Fe RQ as 2 É à Pers. + . : Area

f., telles que l'expression ®f, + ®,f soit égale à une fonction entiere de

Acta mathematica. 6. Imprimé 28 Mai 1884. ’ 8

18 J. Molk.

D, Lis +., %, Seulèment que nous désignerons spar. G(t 2,20", )e Mais alors nous avons aussi

TD : GT Fh - d'op. = Wa

Comme le produit #'® est, par hypothèse, divisible par f, l’expression GT . Fr ’ . L CA Te considérée comme fonction de x, seulement, est une fonction entière

à coefficients entiers; désignons-la par Z/(x,); alors Œ. P(%) LS f(x) H(x,).

Puisque la fonction f(x,) ne contient pas de facteur indépendant de #,, f(x) ne peut étre divisible par G; donc H(x,) contient G; donc #{x,) contient /(x,); et nous venons de montrer que si #° considérée comme

fonction de *,, contient f, il en est de méme de #Ÿ° considérée comme fonc-

tion entière à coefficients entiers de ses (n + 1) variables indépendantes D Lis pie

Nous avons supposé que f(x,; #,,

réductible en #,, mais encore ne contenait aucun facteur indépendant de

.» %) était non seulement ir-

%,, tout comme dans le cas d’une seule variable indépendante nous n'avons nommée irréductible une fonction de x que lorsqu'elle ne contenait aucune autre fonction de *, et aucun nombre.

Ce théorème nous permet aussi de montrer que la décomposition d’une fonction de plusieurs variables en ses facteurs irréductibles est univoque. La démonstration est identique à celle que nous avons donnée dans le cas d’une seule variable.

En résumé, nous venons de voir que les fonctions entières d’une et de plusieurs variables indépendantes se rameènent aux fonctions irréductibles de ces variables.

Toute la démonstration précédente a été faite par induction. ai d'abord démontré les théorèmes pour une variable indépendante, puis, les supposant vérifiés pour # variables je les ai démontrés pour (# + 1) variables indépendantes. |

= 4. Les développements précédents ont lieu pour des variables indépendantes quelconques. Pour plus de clarté, je désignerai maintenant

par NN, N”, ... les variables que jai plus particulièrement nommées

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 19

variables-indélerminées et je réserverai les lettres x, y, 2, ... pour les variables proprement dites. Pour abréger l'énoncé des théorèmes et pour réunir en une seule expression les deux cas qui se présentent, celui où nous considérons des variables-indéterminées et celui où nous n'en considérons pas, je conviendrai que lorsqu'il n’y a qu’une variable-indéterminée R, elle puisse étre remplacée par l’unité; dans ce cas je dirai que cette variable-indéterminée est égale à l'unité.

Demander si une fonction entiére est réductible ou non, c'est demander si elle est divisible par une autre fonction entière à coefficients entiers; d'après le théorème de Gauss dont j'ai fait usage plus haut, je puis même dire par une autre fonction entière à coefficients rationnels. Ayant adjoint les variables-indéterminées R aux nombres entiers qui font l'objet de nos recherches, il est à la fois naturel et nécessaire d'étendre cette définition de l’irréductibilité. |

Si À, À’, ..., R°® sont les variables-indéterminées considérées, nous devrons dire qu'une fonction entière de Ds Lis se. Ts dont les coefficients sont fonctions entières à coefficients entiers de ces variables-indéterminées, est irréductible, lorsqu'elle ne contient aucune autre fonction des variables És Ty. %,, dont les coefficients soient fonctions entières, à coefficients entiers, des mêmes indéterminées. Pour conserver l’analogie avec le cas Marne dirai /aussiiquuner fonction \entiéreude 4), æ, ..:, «,, dont les coefficients sont fonctions rationnelles des variables-indéterminées R, À’, ..., R°, est irréductible, lorsqu'elle ne contient aucune autre fonction entière des variables æ,, æ,, ..., æ,, dont les coefficients soient fonctions rationnelles des mêmes variables-indéterminées. Pour fixer les idées je supposerai, une fois pour toutes, que les coefficients de ces fonctions rationnelles soient entiers.

Cette généralisation est légitime; les méthodes des numéros précédents qui permettent de reconnaitre, à l’aide d’un nombre fini d'opérations, si une fonction entière contient des diviseurs ou non, sont, en effet, immédiatement applicables. Nous savons trouver les diviseurs de tous les coefficients; car leurs numérateurs et dénominateurs sont fonctions entières à coefficients entiers des variables-indéterminées N, ..., fi. Nous mettrons donc d'abord la fonction donnée sous la forme d’une fonction entière à coefficients entiers des æ,, æ,,..., æ, et des f', ..., ji”, divisée par une fonction entière à coefficients entiers des HN, ..., h°, seulement;

20 J. Molk.

® nous chercherons -ensuite les diviséurs du numérateur et ceux du dénominateur; puis, assignant, d'une manière arbitraire, à chaque diviseur du numérateur un nombre quelconque des facteurs du dénominateur, nous ordonnerons chacune des fractions ainsi obtenues par rapport aux variables Cs ds -.., 2, dont elles sont fonctions entières, et nous réduirons enfin à leur plus simple expression les fractions qui paraissent comme coefficients et dépendent des variables-indéterminées seulement. L’arbitraire introduit dans cette réduction en facteurs irréductibles, disparait dés que, chassant tous les dénominateurs, nous retournons dans le domaine réel des fonctions entières à coefficients entiers.

Il convient de désigner tout spécialement, par un nom, l’ensemble des fonctions rationnelles, à coefficients entiers, des variables-indéterminées données, puisque l'irréductibilité en dépend. Nous dirons qu’elles forment un domaine naturel de rationalité, le domaine (ft, R”, ..., HR). Alors une fonction entière de %,, æ,,..., æ,, sera dite irréductille dans un domaine. (R, R”, ..., R®) lorsqu'elle ne contient aucune autre fonction entière dont les coefficients fassent partie de ce domaine.

En réalité, c’est l'ensemble des fonctions entières, à coefficients entiers, des variables-indéterminées NN, R”, ..., HR, qui forme un vrai domaine, que l'on pourrait nommer domaine d'intégrilé. Mais, comme je l'ai déjà observé dans le premier chapitre, il est commode de se servir des nombres et fonctions rationnelles, et il n'y a aucun inconvénient à s'en servir puisqu'a tout moment on peut chasser les dénominateurs sans rien changer au sens des égalités que l’on considère. C’est pourquoi il convient d’introduire l'idée de domaine naturel de rationalité, en même temps que celle de domaine d'intégrité.

temarquons, en terminant, que la convention faite au début de ce numéro, nous permet de comprendre l'idée d’irréductibilité des fonctions entières à coefficients entiers, comme cas particulier, dans l'idée plus générale d'irréductibilité dans un domaine naturel de rationalité (R', R’, ..., R®). Elle répond, en effet, au cas où, symboliquement, NrurReTNR EN SEM IS NRC

En tenant compte de ces définitions, et des résultats obtenus précedemment, nous pouvons énoncer la proposition fondamentale: Quel que soit le domaine naturel de rationalité que l'on considère, il est possible de trouver les diviseurs irréductibles d'une fonction entière quelconque, donnée.

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 21

Nous avons ainsi obtenu la base même de toutes nos considérations alsébriques. Il faut se garder de croire que ces recherches, bien élémentaires il est vrai, ne sont faites que dans le but de systématiser nos connaissances sur la réductibilité des fonctions entières, et qu’elles ne présentent ainsi rien de bien remarquable. Elles sont, au contraire, de la plus haute importance, car elles indiquent déja la méthode à suivre dans le cas général d’un systéme de fonctions entières, et il est absolument nécessaire de les placer au début de nos recherches algébriques auxquelles, seules, elles donnent une base à la fois solide et naturelle. Dans la pratique, l’idée d'irréductibilité peut d’ailleurs simplifier considérablement la démonstration de plus d’un théoréime.