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Résultant de deux fonctions entières.

1. Un domaine naturel de rationalité est supposé connu. Nous partageons ses éléments en trois groupes. Le premier ne contient qu'un élément z, variable ou variable-indéterminée; le second contient des éléments variables x’, x”, ..., «"; le troisième des éléments indéterminés na R”,..., NU)

Considérons deux fonctions entières des éléments 2; 4’, æ”, ..., æ°, dont les coefficients soient fonctions rationnelles des éléments }’, R°”, …., N°”. Aprés avoir débarassé, s'il y a lieu, cês deux fonctions éntiéres de leur facteur commun, ordonnons-les par rapport à z; soient alors

1045 D'OR ERE R(E R D 2 T (d/, Ge, 228 ga +.

99 JT. Molk.

ns dis ces ns Jo Tir +. 9, désignent des fonctions entières des variables , æ”, ..., a® dont les coefficients sont fonctions rationnelles des indéterminées #, À’, .. LR.

Les deux’ fonctions (2; -2) ge TETE", CA ORNE

? 2 n'ont, par hypothèse, aucun diviseur commun tant que les éléments x, #4”, ..., «4° restent indéterminés. Mais ces éléments sont variables; ils peuvent donc prendre des valeurs particulières ou encore être liés par des relations déterminées. [l se pourrait que ces valeurs particulières ou ces relations fussent telles que "(25 me RE ER aient précisément un diviseur commun en z. Dans des recherches sur. la divisibilité, il importe beaucoup de déterminer celles des valeurs particulières ou des relations pour lesquelles il en est ainsi. C’est pourquoi nous allons nous proposer de rechercher les conditions nécessaires et suffisantes auxquelles doivent satisfaire les variables x’, x”, Sa pour

que les deux. fonctionsentières {25 41, m2, 4) tel 7 (2; TE PU

aient un diviseur commun en 2, alors que pour des valeurs indéterminées données à æ’ x, ..., «°, elles sont supposées sans diviseur commun.

Dans son célèbre Mémoire de 1815, Gauss s'est, le premier, proposé de résoudre un problème semblable, sans supposer démontrée l'existence des racines des équations algébriques. Le grand géomètre a donné, dans ce mémoire, la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction Æ(z), à coefficients variables, ait avec sa dérivée F’(2) un diviseur commun, F(2) étant supposée sans facteur double pour des valeurs indéterminées de ses coefficients. Nous allons donner la même démonstration dans le cas de deux fonctions entières quelconques Æ{2) et G(z2), à coefficients variables. (*) Ce problème est plus général, et comprend celui que nous nous sommes proposés de résoudre. :

Ainsi, en désignant par a, a, ..., an3 Bo» Pis se. PB, (m+n+) variables, et par F2) et G(z2) les deux fonctions entières

F2) = 0,2 + a +... + a, Ge) = pe" 06 'OIEESC RES

(") La première démonstration de ce théorème a été donnée par M. KRONECKER, en 1871, dans un Cours professé à l'Université de Berlin, |

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 23 NI

supposées sans diviseur commun pour des valeurs indéterminées données 0 Lis cd fps Pis ces PPns NOUS cherchons des relations, entre les variables ax et f, qui soient nécessaires et suffisantes pour que F(2) et G(z) aient un diviseur commun.

Et cela sans supposer démontrée l'existence des racines des équations algébriques. J'ai suffisamment insisté, dans le premier chapitre de ce

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Mémoire, sur l'importance de cette dernière restriction. D'ailleurs, la méthode de Gauss doit, d'aprés M. KroneckER, servir de type à toutes les recherches d’Alsébre. Il convient donc de la développer avec soin.

À cet effet, nous supposerons d’abord que les variables 4 et f ne soient pas liées par des relations telles que F2) et G(z2) aient un diviseur commun, puis que les variables à et / soient liées par de telles relations, et nous transformerons successivement ces deux hypothèses en inégalités ou égalités équivalentes.

Considérons d’abord le cas particulier où 4, — ff, = 1.

2. Si F(z) et G(z) n’ont pas de diviseur commun, nous pouvons, à l’aide de l'algorithme du plus grand commun diviseur, déterminer deux fonctions enticres de z, ®(z) et W'(2), vérifiant identiquement l'égalité

Les coefficients des deux fonctions @(2) et #'(2) sont des fonctions ration- DR TDi, ec na, 0,15, ...,:b,. Nous ‘pouvons d’ailleurs toujours prendre pour ®(z:) et #'(:) deux fonctions dont le degré, par rapport à 2, soit respectivement (n — 1) et (m—1), car, puisque

LO(z) + h(2)G(2)]F (2) + [E(2) — h(2)F(2)] G(z) = ®(:)F(2) + Y(2)G (2)

nous pouvons toujours choisir la fonction entière A(z) telle que le degré du multiplicateur #(2) soit plus petit que m; celui de ®(z) est alors nécessairement plus petit que ».

Comme l'égalité

D(2)F(2) + W(2)G(2) = 1 et vérifiée identiquement en z, nous pouvons également écrire

Du) Fu) + Vu) Qu)

.) Unsn désignant (#» + n) indéterminées,