Mm+n) à

24 J Molk.

Si. done nous formons, à l’aide de ces indéterminées, deux fonctions entieres de 4

m m+n Cie — P(z 2 \ — 2 U(e—u)=P() et IG) = 06)

nous pouvons écrire

… Du)[FQu) — P(u)] + l(u)G(u) = 1 (E=1,2, em)

ou -encore

IL {O(u) Fu) — Dlu,) P(u) + Tu,)G{u)} = 1.

Les coefficients de la plus haute puissance de z dans les deux fonctions F2) et P(z), toutes deux de degré ”», sont égaux à l'unité; nous avons donc, en désignant par f,, f,,..., fu3 gi: QG ..., 9, les fonctions symétriques élémentaires des indéterminées %,, #,, ..., ,, d'une part, Et M Fra Mi dos Haine CNRUITERDAU

(DC) E (— 1 — ju + Wu) G(as)} = 1

Ce produit est une fonction symétrique entière des indéterminées %, .…., Un, et par suite une fonction entière des éléments f,, f,,..., f,. En effectuant la multiplication indiquée, nous obtenons d’ailleurs une fonction dont chaque terme contient au moins un des facteurs (4, — f,) et que nous pouvons, par suite, considérer comme linéaire et homogène des différences (a, — f;), à un facteur prés

IL Y'(u,)G(u,).

Le produit IL G(u) est, d'après le théorème fondamental de Ia théorie

des fonctions symétriques, une fonction entiére des éléments f,, f,, ..., f

Bas Pare. Ps et le produit ÎT '(u,) est, d’après le méme théorème, une k=1

fonction entière des éléments f,, f,, ..., f,. Si done nous posons

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 20

IL G(u) a R(;, fo ce. m3 Bi; Pa . Pa)

IL #'Cu) = Sfr fes +, În)

et que nous désignions par À une fonction entière des éléments f,, ..., f

nous.voyons que l'égalité précédente peut être mise sous la forme

2 (ay — f) Ki (fi: Î mote fre) vi 5 R(:; fo DETOR ne Pi; Pa por n) S (fi ; CE În) sat

Nous avons obtenu cette égalité par une simple transformation de l'identité D(2)F(2) + W(2)G(2) = 1.

Elle est donc, elle-même, vérifiée identiquement en %,, %,..., 0,. Mais les fonctions symétriques élémentaires de »# variables indépendantes forment un système de » variables également indépendantes. Il en résulte que l'égalité que nous venons d'établir est vérifiée identiquement en f,, ..., f,,; elle a donc lieu lorsque nous substituons aux indéterminées f,, &, ...,f,, les valeurs particulières 4, æ&, ..., 4,. Ainsi se trouve démontrée, pour des systèmes, quelconques &, ; &, ..., 5 (is Pas, Pas vérifiant notre premiere hypothèse, l'égalité

R(a ; Uoy sr Ans Pi; 2; …) Pa) So » Uoy +, Am) AE

Si nous observons que ÆS(f,, f, ..., f,) était une fonction entière des indéterminées f,, , …,f,, à coefficients rationnels déterminés de o&, &, .…., an: Bis Pas ee, Pas NOUS voyons que la valeur de cette fonction est finie lors- ŒHRONVYMOUNEUIUORR Lee: ere Les Variables a), æ&,5..., 4, : Nous en concluons que la fonction Ru, æ&, ..., 4p5 Pis (823 :.., PP) ne saurait être nulle.

Donc, si les variables 4 et {3 sont liées par des relations telles, que la fonction Ra, æ, ..., ans Ps fi, - +, [B,) soit égale à zéro, les deux fonctions (2) et G(z) auront nécessairement un diviseur commun en 2.

Acta mathematica, 6. Imprimé 29 Mai 1884, À

26 J: Molk.

Car si elles n’en avaient pas, nous venons de voir que À serait différent de zéro.

Dans tout ce qui précède nous n'avons considéré que les » indéterminées %,, %, ..., 0, qui définissent la fonction P(z); rien ne nous empêche de répéter les mêmes raisonnements en prenant comme point de départ les »m indéterminées wyy1, Uyyo» +++ Umin Qui définissent la fonction Q(2). Nous obtenons alors une fonction entière À, définie par l'évalité

E (ai, A 3 Le Ans J15 25 ++.) On) nil F(us)

et nous arrivons, comme tout à l'heure, au résultat que si les variables x et f? sont liées par des relations telles, que la fonction Riu, My ce. Ans Pis Pas +. fn) Soit égale à zéro, les deux fonctions F2) et G(z) ont nécessairement un diviseur commun en 2.

Posons, pour un instant, 4,,, — v,; nous aurons alors me mn nm I Qfue ALL (ur, — V) = ( 1)" LL I (v, Ux) mn n n m JL P(w) = II PIE IL TL (U, — 43) donc m m+n IL Q(us) = (— 1) IL P(u).

Ainsi les deux fonctions À et AR, sont égales, au signe prés, pour des fonctions Æ et G à coefficients indéterminés. Il est, en effet, manifeste Que POUT Gs Maytes.f Ces (ia Parler.» ff, iNdéterminés, les fonctions, Pret F et, de même, les fonctions Q et @&, sont identiques.

Les deux termes de l'égalité

m m+n I Q(u) = LL P(w)

sont fonctions symétriques des indéterminées w,, %, ..., w, d'une part et des indéterminées #11, .., Win de lautre; cette égalité a d’ailleurs lieu’ identiquement. en us AN SU SOU TMOOIIC CARESHNEN

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 27

fs -, fu; Qi Me .., 9,5 ellé a donc également lieu si l’on y substitue à 1; >» res LAB Q15 Us ++. les variables As Ars ce.) Ans Pis BP “549 es liées par les relations considérées, ce qui démontre l'égalité, au signe prés, des deux fonctions (a, Ans res En (13 (Po) Ne OL NA Diane Da

Cette remarque nous permet de donner une méthôde pour trouver, dans chaque cas particulier, la fonction Ra, æ&,..., a,5 fi, Pas ..., me En effet, si

m+n RE II (2 — u3) E= l'expression im + n H(z)

F2 (z = Ux) H(ux)

est une fonction de z, qui, pour ? = w,, se réduit à l'unité. Elle représente donc la fonction de degré (m + n — 1)

D(z)F(2) + d(2)G(2) qui est identiquement égale à l'unité, et nous pouvons écrire

m+n | H(:) be” Se (GG — uw) Hu)

ou encore, puisque (2) = P(2)Q(2)

OURS SE CU CRE Er Ur Pux) Q(ux) mn ux P(ux)Q(ux) En chassant le dénominateur, m m+n * I Qu) = + IL P(4) = A, D Sn Pre ere, Un)

il vient, BG; f; ne fs (1 » (> » NU ALES à du)

L ÿ2U)aG)Q(u)Q(u) PQ NQ 0 QU) «4 —— (3 — ux) P'(ux)

LS P(2)Q(&) Pme) P(um4s) -. Pux-s) P(uxxs) - + P(tmn) de à

kA=m+1

28 J. Molk.

dut Re UE

désignerons par (P,(2; w) et @Q(z; w); les deux produits

Q{u) QU) 7.1 QUAD O IE NRO

Mais sont des fonctions entieres de z et de w, que nous

et PU) PU). 20 Pi NP USD ERA EE)

sont des fonctions entières de #,; nous les désignerons par Q*(w,) et P'(u;). Alors l'expression P(z; w,) Q*(u;) sera une fonction entiere de u,; à l’aide de l'équation P(u,) = © (k = 1; 2, ..., m), nous la réduirons au degré (nm — 1); elle peut donc être mise sous la forme

Jilx Qoux Cu Life + Tin

de méme, à l’aide de l'équation Q(u,) = 0 G=m+#+1, m+2,..., m+n) l'expression Q,(z; w;) P*(u,) peut être mise sous la forme

Dis T END RE RE EDS

les coefficients pi, Pr, :.., D,3 is das +.) ns désignent des JONCTION entières de 2.

Nous obtenons ainsi l'égalité,

R(f; fo PA, 27 01» (> » A Qn)

3 mn —1 m—2 m+n n—1 n—92

4 qiux ar qeux on ….. cr Jin Pix + Poux + ho + Pn

= (4) >: IRON PUR Era UNS w Pr.

2\ k=1 PQux) & ( Le Qux)

Les formules d'EuLEr

mn m—i m+n ñn—i

> Ux D ux | 1, DOUDYE ="

= PQux) d 4=m+1 QCux) 4 | O, pour i >.-I

nous permettent de réduire cette égalité à la suivante, identique en

1 CE vh Le (us os +.

R(;, Îer cc) no ll or ee qu) 7 Hz) Q(z) + P,(2)P(e).

Si donc on nous proposait, dans un cas particulier quelconque, de former la fonction Ra, &, ..., an; 1, Pa, ..., B,) correspondant à deux fonctions données F(z) et R(z:), nous formerions à l’aide des indéterminées

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 29

Ui, U, ..., Un, Les deux fonctions auxiliaires P(2) et Q(2), et la méthode précédente nous permettrait de déterminer deux fonctions p,(2) et g,(2) telles que p.(2)P(z) + q,(2)Q(:) se réduise à une fonction entière des indéterminées ff, ..:, fnsdis du, ..., g. Si dans cette fonction, nous substituons Hs Up +. Ans Pa» Pa 10 ee (ie fi; Îs 3 tas 15 V2» +. Qu» nous obtenons la fonction cherchée,

(a; Ayy y An; Bi Pas ….) Pa) -

Nous pouvons résumer les recherches précédentes en disant que l’unique condition R(a, Up ce.) An; Pi Pa MECS ; Pa) at?

est suffisante, pour que les deux fonctions Æ(z) et G(2) aïent un diviseur commun. |

3. L'alsorithme du plus grand commun diviseur suffit pour nous donner la condition nécessaire.

Comme P(z) et Q(2) n’ont, par hypothèse, aucun diviseur commun (puisque leurs#coefficients-f, f,..., f, et !m, dm, ..2, 9, sont indéter- - ininés), nous savons trouver. deux fonctions entières de 2, ç(z) et d(2), atcoëfficients rationnels en f,; fo, «3 fus Mis os ce M telles que

Réduisons au même dénominateur les fonctions @(z) et (2), et chassons ce dénominateur. L'égalité précédente devient alors

p(z)P(2) ns q(z)Q(z) du EE 2 EX, [ie Qu Go +...) g»)

où les coefficients de p(z), g(2), et T lui-même sont fonctions entières, à coefficients entiers, de f,, fo; ..., fn Qus Mas ss Me Si nous réduisons les degrés de @&(z) et d(z) à (n— 1) et (m— 1), il est facile de voir que les deux multiplicateurs ç(2) et d(z:) sont déterminés univoquement; il en résulte que les trois fonctions p(z2), g(z) et T sont, au signe prés, également déterminées d'une manière univoque, si nous convenons de débarasser T' et les coefficients de p(z) et g(z) des facteurs qu'ils pourraient avoir tous en commun. L'existence et l’univocité, au signe prés, des fonctions entières p(z), qg(z), 1, est ainsi démontrée; elle repose sur la possibilité de trouver les diviseurs d’une fonction entière quelconque.

90 J. Molk.

Ceci posé, supposons que (2) et G(2) aient un diviseur commun; il faudra alors que ce diviseur soit contenu dans la fonction T que l’on obtient ent substituantesà &f, M0 AR EN sr Nate cote M, mn ans Br, Basse, Pt desdenx Honctions Az) ete égalité. précédente. est:-identique en f,, E;4%865001; 0 2.719, 10008 cocfficients des plus hautes puissances de ÆF(2) et de G(z2) sont égaux à l'unité; un diviseur commun à Æ(z) et à G(z) dépend donc nécessairement de 2; et, par suite, Ti , . 0, à,; Pi, - *,08,) quivestindépendant de z, est égal à zéro.

Nous avons ainsi trouvé une condition nécessaire pour que les deux fonctions F2) et G(z) aient un diviseur commun.

4. Il est maintenant naturel de rechercher si les deux fonctions

R(a, Ups ++) An; Pi Pa PER) Pa) et Ta ; A23 +.) An; Pi Pa) TRUE Ba)

sont indépendantes ou non, et, si elles ne Ile sont pas, de chercher à trouver les relations qui les lient l’une à l'autre.

Dans ce but, nous démontrerons d’abord que dans le domaine d'intégrité (fi, fa, ce, Îns Gus Gas +» Q), la fonction À est irréductible "Cela est facile. Nous avons, en effet, identiquement en uw, 4, ..., Un,3 Vis Vas Te, Un,

= 12 eee

(fr, AE EP (4 Qi > (2 » 7 Q,) = ÎL(u, — 0). Es 2, son Supposons done que À soit réductible dans le domaine d’intégrité considéré; l'un de ses facteurs contiendra alors nécessairement une des différences du double produit qui est égal à R, par exemple w, —v;, et

si nous désignons ce facteur par À, nous avons identiquement en

1e Us Us ; HAE Un, Vi Lo, ENT A Vs)

Rite 12 EX La Qi» ( » a PE. | Qn) = O (mod uw, — v,) et par suite, à cause de l'identité en %,, %, ..., 4», Rif Pr MARS 0: DL) =ONMOUY,—-V,) RENNES

Comme les #» fonctions linéaires (uw, — w), (= 1, 2, .-., m), n'ont aucun diviseur commun, nous aurons donc, toujours identiquement en U; , Us ; PAP ES Un V; ) Lo, JE") Vns

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. ùL

et par suite, à cause de l'identité en v,, v,, ..., v,, la même congruence 4 m

pour k—1,2,...,n, ou encore, comme les » modules IT (u, — »,), 1=1

(6 = 1, 2,..., n) n'ont aucun diviseur commun,

R; (fe P RAA PA PE Q1 > (2 » CNE: Qn) 0 [mod I (u, — v)]. FR il