NE. SO TRUC

Si donc la fonction À contient un facteur linéaire (w, —v,) de la résultante R(f5 hi, ...; fus dis g:...,9.); elle contient aussi nécessairement le double produit qui est identique à cette résultante elle-même. L'irréductibilité de À, dans le domaine considéré, est ainsi démontrée.

Ceci posé, comparons les deux fonctions R(f, f,,..., f,; gi, ,..., 0) et T(f, fa ses) m5 Dir os O1) - |

Nous avions obtenu les deux égalités

Nous en tirons, par soustraction,

SR AOC) ER

ou encore, [9,(2) est différent de zéro]

q(2)Ep(2) — p(2)1P(e) + La(e) — 9 (2)ICR — p(e) P(e)] = 9,(2XR — T).

Nous voyons donc que la différence q,(+)T — g(z)R, dont le degré, par rapport à 2,-est plus petit que »#, est divisible par P(z) dont le degré, par rapport à 2, est égal à m3; ce qui n’est possible que si

Il faut donc que la fonction g(z) soit contenue dans le produit g,(2)1, et, par suite, que g(z2) soit un diviseur de qg,(2}; car si g(z) contenait un facteur indépendant de z qui fût également contenu dans 7, comme le coefficient de la plus haute puissance de -P(z2) est l'unité, ce facteur serait

92 J. Molk.

aussi contenu dans plz), et p(z), g(2), T, auraient un facteur commun contrairement à ce que nous avons dit dans le numéro précédent. Soit donc qe) = H(a(ey:

remplacons, dans l'égalité précédente, g,(z) par sa valeur, et divisons par la fonction g(z) qui est différente de zéro; il vient

RATER; Ainsi Z' est contenue dans À; mais À est irréductible; donc TN

Cette même égalité, démontrée dans le domaine (f,, f, ..., fh3 Qi: + .» 9) a évidemment encore lieu lorsque l’on substitue aux indéterminées fns fo ve. Îm 3 A1» M2» ++ Vu les variables As Los es Am Ps Be pales Ps quelles que soient d'ailleurs les relations qui lient ces variables.

La condition nécessaire que nous avons trouvée, et la condition suffisante sont donc identiques, et nous pouvons dire:

»La condition nécessaire et suffisante à laquelle doivent satisfaire les variables à’, x”, ..., æ®, pour que les deux fonctions entières fe; &, à", ..., 4%) et ge; à 21,2, MG) OPA TONNERRE diviseur commun en z, est, dans le cas particulier où f = g, = 1,

(fs fs +45 fm3 Pis Jar + ++5 In) = 0.

Cette fonction À est le résultant des deux fonctions f(2) et g(z); d'apres ce qui précède, nous savons le former, quels que soient les cocfficients de f(z) et de g(z). Remarquons, en passant, qu'en réalité c'est R — o qui est l'équation résultante des deux équations f(z) — o et g(z) — 0.»

5. J'ai, dans ce qui précède, défini le résultant de deux fonctions entières, et, comme une fonction entière déterminée des coefficients des deux fonctions entières données, ét, comme une fonction entière facile à déterminer dans chaque cas particulier, à l’aide de l'algorithme du plus grand commun diviseur appliqué aux deux fonctions entiéres données. J'ai ensuite montré que les deux fonctions, ainsi définies, étaient identiques. Il me reste à ramener, au cas particulier considéré, le cas général où les

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 39

deux fonctions f(x’, æ”’, ..., 4°) et g,(x’, x”, ...: ;.4%) ne sont pas égales

à l'unité. Il suffit, de nouveau, de considérer les deux fonctions F(2)

et G(z) dans lesquelles les coefficients à, et f, ne sont pas égaux à l'unité. Soient |

x Fe) et G(z) = > G(s);

le résultant des deux fonctions F(2) et G;(z) est une fonction entiere Œ

(44 Œ, de —, —, ,.., , JU AS Drleiels do 0 do B D

Il est d’ailleurs égal au produit

IL & (u,)

dans lequel on a remplacé les fonctions symétriques élémentaires de SEE ci

Ui, Uoy ss Un par les coefficients +, —, ..., —". Si donc nous multi-

4; ad Œ

plions ce produit par af, ce qui revient à multiplier le produit

Il G(u)

par æ, nous obtenons une fonction entière de 44, &,...; 4n5 (os (15 «123 (Pa; d’ailleurs

m m ñn

RE QG) = for E LL u — n) = g IE P(n)).

Il convient donc de considérer cette fonction entière, comme /e résultant -des deux fonctions F(2) et G(2).

‘ Le résultant de P(z:) et de Q(z2) est irréductible. Nous savons, en effet, que le double produit

m ñn

Il (y — %)

est irréductible dans le. domaine (f,, f, ..., fn3 os ++, 9); Si donc le résultant de P(z) et de Q(z) était réductible, il aurait tout au plus un facteur indépendant de z, f, ou g,. Mais dans le produit

Il Q(ux)

Âcta mathematica. 6, Imprimé 7 Juin 1884. 5

34 J. Molk.

le terme indépendant de w,, %, ..., u,, est égal à f;g%'; et dans le produit

il est égal à g5f,. Ni f, ni æ ne sont donc contenus dans le résultant

des deux fonctions P(z2) et Q(z); ce résultant est donc bien irréductible. Le problème proposé peut ainsi étre considéré, comme entiérement

| Ld résolu.

Domaine général de rationalité.

1. Considérons une fonction entière de x, de degré n, irréductible dans une domaine naturel dé rationalité (}, R”, ..., R°). Egalons cette fonction à zéro; l'équation ainsi obtenue est dite irréductible, et ses n racines &, &, ..., &, sont dites fonctions algébriques conjuguées de R', À’, ..., N°; dans le cas particulier où le domaine se réduit à l’unité, c’est à dire où les coefficients sont des nombres entiers, les racines Ë,, &, ..., &, sont dites nombres algébriques conjugués.

C'est ici que nous supposerons connue la démonstration de (Gauss sur l'existence des racines d’une équation algébrique, telle qu’elle a été interprétée par M. KRONECKER, qui, aprés avoir ramené le, cas général à celui des racines réelles, sépare tout d’abord les intervalles dans lesquels une équation peut être vérifiée approximativement. (?) Il est alors parfaitement rigoureux, pour abréger le langage, de dire qu'une équation a n racines. Cette introduction en algeébre d’un symbole qui lui est étranger, a, comme je l'ai exposé dans le premier chapitre de ce mémoire, au moins dans l'état actuel de la science, ses avantages et ses inconvénients. Pour faire saisir, en partie du moins, les uns et les autres, je reprendrai dans le chapitre suivant, à l'aide des systèmes de diviseurs, la

question importante que jaborderai tout à l'heure, dans le paragraphe

— < — asains > tion

(*) Comparez page 4.

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 39

4 de ce chapitre, à l’aide des fonctions alsébriques, ct je montrerai comment on peut la résoudre sans l'emploi de ces symboles. Mais comme il m'a été impossible de démontrer de la même manière la décomposition générale des systèmes de diviseurs, dont la question traitée dans le paragraphe 4 n'est qu'un cas particulier, j'ai préféré introduire, dés maintenant, les éléments auxiliaires, dont j'aurais parfaitement pu me passer dans tout ce chapitre. Je ne les ai pas introduits, dés le début de ce chapitre, parce que quelques-uns des résultats obtenus jusqu'ici sont nécessaires pour la démonstration de la séparation des racines possibles d’une équation alsébrique donnée, et de l’existence d’un nombre rationnel vérifiant cette équation avec une approximation aussi grande que l’on veut.

Aïnsi nous parlerons de fonctions algébriques, de nombre algébriques; mais, encore une fois, 1l est bien entendu que ces fonctions algébriques, ces nombres algébriques, n’ont aucune existence par eux-mêmes, que nous y adjoindrons toujours l'équation f(x; N', HR”, ..., N°”) — o qui les définit, f étant une fonction entière, que c'est cette équation qui a un sens alsébrique, que c'est son adjonction qui seule nous permet d'introduire, pour abréger, l'idée approximative de fonction algébrique, au même titre que celle de fonction rationnelle. |

2. Dans un grand nombre de recherches les éléments du domaine de rationalité sont liés par une équation algébrique. Nous dirons alors que, dans ces recherches, on considère comme connue une fonction algébrique déterminée ou encore que nous adjoignons au domaine naturel de rationalité (R, R”, ..., R®) une fonction algébrique G de ces indéterminées. Le nouveau domaine (6, R’, R”, ..., °°) comprend toutes les fonctions rationnelles de G, R’, HR”, ..., N°”. Ces fonctions rationnelles sont, toutes, des fonctions algébriques de HR’, R°”, ..., N°. En effet, si G est racine de F(G) —o et si R(G) = G, désigne une fonction rationnelle quelconque de 6, G, sera racine de l'équation

IT(: — G,) = o ou. le produit est étendu à toutes les racines de F(G) = 0. Ce produit est fonction symétrique des racines de l'équation F(G6) = o, donc fonction rationnelle des coefficients de cette équation. G, et 6, et, par suite,

toutes les fonctions du domaine (@, #, R”, ..., R°°) sont donc fonctions

alsébriques des mêmes: indéterminées.

30 J. Molk.

Parmi les fonctions aloébriques comprises dans le domaine (GERS RE AIT)

celles qui sont d’un ordre donné k, c’est à \dire celles qui vérifient une équation dont le degré est k, forment un genre d'ordre k. 6 étant d'ordre n, il y à certainement un genre d'ordre n. Ce genre dérive du domaine naturel.(R RS con ENT.

Les fonctions alsébriques conjuguées déterminent des genres qui s'ils sont différents, sont dits genres conjuguées. |

Le nombre % est nécessairement un diviseur du nombre »#, Soit, en effet,

une équation irréductible de degré », définissant les fonctions conjuguées

G:, G., …) G, ; et soit 07 D(G,, Medio R°)

une fonction rationnelle de G,, h’, R”, ..., R®. Le produit

ve

Il (ions D(G)]

est une fonction entière de g dont les coefficients sont fonctions rationneles de h’, R”", ... ,,R#,: Cette fonction entiere"G(a; RE ,900) peut être réductible; soit H(g; R’, R”’, ..., R®) un de ses facteurs irréductibles. Comme la fonction entière H[@(6G,); N',.R”, ..., R®] sannule pour une des » racines G, de l’équation irréductible F(G6) — o, elle s’annule pour toutes les racines de cette équation. Aïnsi

H[D(G,); À, R’, .…., RP] = o

pour k— 1, 2,...,n. Cette même relation ayant lieu pour tous les facteurs irréductibles de G(g; R', R”, ..., R), ces facteurs irréductibles

sont identiques, et nous avons f : 0 2] JUNE } à , 0 a: NOR er, RAMSNANOIANS 77. RE

Il en résulte que l’ordre % de g est égal à un diviseur de n; n = k.».

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 37

Pour voir comment se groupent les fonctions algébriques 6, si nous considérons les fonctions alsébriques conjuguées g, comme connues, posons

rs ALT (6 D) Qui — KE k

et désignons par #'(6, g;) le plus grand commun diviseur de F(G6) et de 6(6)—g. Nous aurons alors

d’où

Ainsi la fonction F(G), irréductible dans le domaine naturel de rationalité, devient réductible si nous adjoignons à ce domaine les racines de l’équation H(g; R, R’, ..., R®) — o. Ses »n facteurs linéaires se partagent en k groupes contenant chacun . éléments. Afin de mettre en évidence cette dépendance de 6 et de g, nous dirons que le genre g est contenu dans le genre 6, et que le genre G contient le genre g. Lorsque deux genres se contiennent réciproquement, ils sont identiques. Aïnsi toutes les fonctions du domaine (6, h’, R”, ..., N°) font ou bien partie du genre 6, ou elles sont contenues dans ce genre. Les fonctions rationnelles de R', À’, ..., R°, pouvant étre considérées comme des fonctions algébriques

d'ordre un, font elles-mêmes partie du domaine (6, h’,..., R°”) de sorte

que le domaine naturel de rationalité (R', N°’, ..., R°”) est contenu dans le domaine (6; R’, R”, ..., R®) qu'il a engendré par adjonction de la fonction algébrique G.

L'adjonction d'une racine d’une fonction entière égalée à zéro, à un domaine (}, R”’, ..., R°) ne donne naissance qu'a des genres dérivés du domaine considéré, même si les coefficients de la fonction entière font euxmêmes partie d’un genre dérivé de ce domaine. En effet, dans un domaine déterminé, une fonction algébrique d’une fonction algébrique est une fonction algébrique; car, si F(x; HR’, ..…., R)—=0o et Gy; x, À, ...,R*)—0 ébique, £) (i "1,2, ..)ndésignent. lestracines de Æ— 0, le produit

IT G (y: E, R, ..., R®) étendu à toutes les racines 6, est une fonction

38 J. Molk.

symétrique de ces racines, ct, par suite, une fonction entière de y, dont les coefficients sont fonctions rationnelles de H’, ..., h°.

Ainsi en répétant plusieurs fois l'opération auxiliaire qui définit les nombres et les fonctions algébriques, nous n'obtenons rien de nouveau. L'idée de genre suffit pour nous rendre compte des domaines qui sont alors engendrés par le domaine naturel de rationalité. Suffit-elle également pour nous rendre compte de ce que devient ce domaine naturel de rationalité, si nous lui adjoïignons un nombre quelconque de fonctions: alsébriques de ses éléments; ou est-il nécessaire d'introduire, dans nos recherches, une idée plus générale? C’est ce que nous allons étudier maintenant.

3. Soient p°, p®, ..., p®, » fonctions algébriques des variables indéterminées R’, R”, ..., N°, définies par les relations,

AGP) = 05 AGP) = 05 22, E(D°) = 0$

et 3, Ua, -.., U,, » variables auxiliaires. Considérons le produit

Le 00 10? =... — 14,0)

étendu à toutes les valeurs conjuguées de 9%, de 9°, ... et de p°. Ce. produit est une fonction symétrique des racines dé chacune des équations 00) 20 4 0 TE OT Un ES PRICES donc une fonction de 2 dont les coefficients sont fonctions rationnelles des variables indéterminées À, À, ..., N°, et. fonctions entières des variables auxiliaires Us Mas sec Me DOI (25 Ua lnos 20 ts ne A UTC ECTS irréductibles. Nous aurons évidemment

H{E UE MA IT(2 — 40 — u,0 —... — u,p)

Die produit n'étant étendu qu'a un certain nombre des valeurs conjuguées de. p®, de p°, ... et de 0°. . Maisialors, si 4, ©, ..., ©. désishient D nouvelles variables auxiliaires, nous avons

Hz; u + vu, u +0, :.., u, +0)

Le () (1) @ = Ie — 9f —...— 0,0 — 0,0 —.,. — 0,p})

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 39

ep: li re @) LT RS OR He - vi V0) LE Uis Uss <.., 4) FE LUE @ = IT (c tn ph u,0 Up — — v,p$).

Ces deux fonctions ont un diviseur GOT 8 — Up — 00 — ... —u,0 — v, 0% — 00 — ... —v,p{ En général ils n’en ont point d'autre; car de l'équation 800$ — 00 — ... — 0,9 — 00 — V0 — ... — 0,04 = 2 — 00 — 008 —... — 0,09 — 0,0 — 0,09 — ...— v,0Ÿ, il résulterait V10$? + Vs 0 +. . + ROUE AS 2. +. V0 +. . + v,0% et, par suite, le discriminant de la fonction érréductible, HÉANUREUS ETAT.)

serait nul. Si donc nous donnons au systéme de variables v,,%,,..., 0, une valeur quelconque 4,, a, ..., &,, différente de la variété (y — 1)" qui seule peut annuler le discriminant de Es Dir Das res U), l'expres-

SION 2 — 0109) —... — 4,0$) — Q10ÿ) —.. a,p# est le plus grand commun diviseur des deux fonctions He: MH Mrs + @) et He — ap —...— a,pŸ; u, w, ..., u,). Mais alors l'expression

UD qe UD) ARTE U,0Ÿ ar a, Rd RER. G;p1 est fonction rationnelle de es UT De Ce mi CR TE OL et, par suite, %9% + w9Ÿ +... + u,pŸ est fonction rationnelle de GOT + GDŸ +... + GOT; Uis Was es Uye Ce que nous venons de dire de la ART alsébrique p,, a lieu de même pour chacune de ses

conjuguées. Nous pouvons donc dire que 00 + 009 +. + 0,0

est. fonction rationnelle de a, + ...+ ap; w, w, ..:, u, En donnant à %:,, %, ..., #, des valeurs convenables, il en résulte que

40 J. Molk.

chacune des fonctions 9%, 9%, ..., p® est fonction rationnelle dé ap + ap9° +... + 4,9%. D'autre part, a9% + a,9° +... + a,p° est manifestement fonction rationnelle de 9%, 9%, ..., op. Le genre (0°, 09, ..., 995 HR, R,..., R%) est, parssuite, identique auvrenre (9®.+ ap + 2. + aps Ras RE):

La question posée est ainsi résolue; l’adjonction d'un nombre quelconque de fonctions algébriques aux indéterminées et aux entiers qui composent le domaine naturel de rationalité, est identique à celle d’une seule fonction algébrique à ce même domaine. C’est pourquoi nous nom-: mons un domaine de la forme

domaine général de rationalité.

Le domaine général de rationalité embrasse le domaine naturel correspondant. Dorénavant lorsque nous parlerons d'un domaine de rationalité, nous entendrons par ,là, indistinctement un domaine général ou naturel de rationalité; ainsi dans le domaine (6; }’, HR”, ..., h°) il ne sera pas indispensable que G figure vraiment. Lorsqu'il sera nécessaire de distinguer entre les deux cas, nous ajouterons l'adjectif naturel ou engendré suivant que G ne figure pas, ou figure, dans le domaine

4. On pourrait enfin supposer que les variables-indéterminées soient liées, non par les relations particulières

AU h, h", ASE 210) — O (k=1, 2, .…., y)

qui définissent » fonctions algébriques 6%, 0%, ..., 0%, mais par un nombre quelconque d'équations algébriques entre les variables indéterminées 70, 00, 10 va 0e Ms Nr Ut 7 TOCSC OR RITO AENTTE SUIS TION quelconque de variables-indéterminées. |

Je démontrerai plus tard que le domaine aïnsi formé ne donne, lui aussi, naissance à rien de nouveau. C’est dans la démonstration de ce théorème que consiste précisément le probléme général de l'élimination, dans le cas particulier où le domaine de rationalité est égal à l'unité. Les premières recherches sur la divisibilité nous aménent ainsi à étudier

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 41

le problème général de l'élimination. Il suffit, pour le moment, d’avoir réduit. l’adjonction d’un nombre quelconque de fonctions algébriques à l’'adjonction d’une seule fonction algébrique, et d’avoir ainsi introduit l'idée de domaine général de rationalité dans nos recherches d’Algebre.

Réductibilité des fonctions entières dans un domaine général de

rationalité.

1. L'idée d'irréductibilité est relative. Elle dépend du domaine de rationalité que nous fixons au début de nos recherches. Il est donc naturel de nous demander si nous pouvons l’étendre à un domaine général de rationalité.

Rien n'est moins évident. Car la méthode que nous avons suivie pour reconnaître si, dans un domaine naturel de rationalité, une fonction “entière a des facteurs ou non, n’est plus applicable.

A la vérité, nous pourrions donner une définition logique de l'irréductibilité. Mais il nous faut une définition algébrique comme nous l'avons fait remarquer dans le premier chapitre.

Nous devons donc, tout d’abord, donner une nouvelle méthode qui permette, à l'aide d’un nombre fini d'opérations, de reconnaître si une fonction entière de plusieurs variables, dont les coefficients font partie d’un domaine général de rationalité (0; #', h”', ..., N°), peut, ou non, être mise sous la forme d’un produit de fonctions entières de ces variables, dont les coefficients fassent, eux aussi, partie du domaine (0; R, R°”, …, HR”), et qui, dans le premier cas, donne le moyen de trouver ces facteurs.

Ordonnons par rapport à l’une des variables, z. Si le coefficient À de la plus haute puissance de z est différent de l'unité, nous décomposerons la fonction considérée en deux facteurs dont l’un est À et l’autre une fonction de z dont les coefficients font partie du domaine (6; #, R”, ..., R°°), le coefficient de la plus haute puissance étant égal à l'unité. Deux cas peuvent alors se présenter. Ou bien À contient au moins une nouvelle variable indépendante Zz, et alors nous pouvons, en ordonnant À par

Acta mathematica. 6. Imprimé 18 Juin 1884. 6

42 | J. Molk.

rapport à z, répéter sur À, qui contient une variable de moins, les mêmes raisonnements que sur toute la fonction considérée. Ou bien À ne contient que 9» et les variables-indéterminées et alors il ne serait d'aucune utilité de décomposer A. Nous pouvons donc supposer, sans restriction aucune, que le coefficient de la plus haute puissance de z est égal à l'unité. Attachons-nous d'abord, pour plus de clarté, au cas où il n’y a qu'une seule variable. z. Il est toujours permis de supposer que la fonction donnée Æ(z) ne contienne pas de facteurs multiples; car, si elle en contenait nous considérerions non pas cette fonction, mais la suivante,

F'(a)0N0e Dv(F(2), F(z)]

en convenant, une fois pour toutes, de représenter par Dvf[ç(x), d(x)] le plus grand commun diviseur des deux fonctions &(x) et d(x). Nous savons toujours, par un nombre fini d'opérations rationnelles, former cette fonction qui ne contient que les facteurs simples de Æ(2) et qui les contient tous.

Remarquons ensuite que dans un certain nombre de recherches les coefficients de la fonction entière donnée font simplement partie d'un domaine naturel de rationalité (f', R'”, ..., N°?) et que c'est cependant le domaine général (0; R#’, hR°’, ..., R°°) que l’on considere comme connu. Nous avons alors à faire une recherche analogue à la précédente. Les

deux cas ont ceci de commun que dans tous deux nous cherchons à

savoir si la fonction donnée contient ou non un facteur dans un domaine déterminé (0; HN, ..., N°). Pour n'avoir pas à distinguer entre eux, nous considérerons, non pas la fonction Æ(:; 0, N, R”’, ..., N°) où » pourrait ne figurer qu'en apparence dans les coefficients des différentes puissances de 2, mais la fonction

où # désigne une indéterminée. Nous sommes alors certain que figure dans les coefficients des différentes puissances de la variable 4; quant à l'indéterminée # nous savons que son adjonction ne peut en rien changer la réductibilité d’une fonction quelconque; d'autre part, si nous donnons une méthode pour trouver les facteurs contenus dans la fonction Fe + up; p, NW, À’, ..., R®), considérée comme fonction de (2 + wp),

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 43

il est bien évident que, # étant une indéterminée, nous aurons, en même temps, les facteurs cherchés, contenus en F2; 0, R', #7, ..., R°).

2.- Ceci .posé, soient 61, @, «.«, p1, les’ À racines de l'équation f(o) = 0, qui définit o. Formons le produit

pt IL F(e nos Hanoi Ris ans) RC);

cette expression est symétrique dans les racines de f(0) — 0; c’est donc une fonction entiere de z, dont les coefficients font partie du domaine (GR, R’, ..., R”). Nous savons trouver les facteurs irréductibles d’une fonction entière, dans un domaine naturel de rationalité; nous pouvons donc écrire, en sous-entendant les variables-indéterminées #, R°”, ..., }°,

IL F(e + wpss pr) = Vi(z)Va(e) +. Vrr(e)

où (2), (à = 1, 2,...,n) désigne une fonction entière de z, irréductible dans le domaine (KR, R”, ..., R°), et contient en outre l’indéterminée w. Les y, sont des nombres entiers. Pour nous rendre compte de la grandeur de ces entiers, prenons, dans l'égalité précédente, la dérivée, par rapport à z, des termes de droite et de gauche.

Nous obtenons, à droite,

V2) Va 2). 2 Pr(a) À LuVi(z)Pi(e) 2e Vi(e) ie) (a).

Si donc l’un seulement des entiers w, était plus grand que l'unité, la dérivée du terme de droite et, par suite, celle du terme de gauche, c’est à dire celle du produit considéré, aurait un facteur commun avec ce produit lui-même. Cette dérivée étant égale à

À pv 7 OE ; ; + (Ge II F2 + w,; ))

= F(z + Uk; Pr) h=1

il faudrait donc que l’un des facteurs du produit, F(2 + wp,; p,) par exemple, et |

(a + mp5 p)F(e + u0:5 p:) Fe + 0:53 ps) ++. F(e + up13 p))

44 J. Molk.

eussent un facteur commun; comme nous avons eu soin de débarasser, tout d'abord, la fonction F(:) de ses facteurs multiples, il faudrait donc aussi que F2 + u9,; p,) et F2 + u9,; pa), par exemple, pour £ > 1, et, par suite, en posant 2 + wo, — y, que F(y; p,) et FTy + u(ox — pi); pu] eussent un facteur commun. | |

En développant la dernière fonction suivant les puissances de #, on a

Fy + Cox — p:)3 04] = E(y5 pr) + uCox — 03) F3 à) + 2e + doi — 05)".

Mais « est une indéterminée; il faudrait donc que F{y; p,) et (ox — p;)"

qui est indépendant de y, eussent un diviseur commun, contrairement à l'hypothèse À — 1. | |

Nous avons ainsi montré qu'aucun des entiers y n’est plus grand que un, et nous pouvons maintenant écrire,

LL F( + 4015 po) = V()V,(e) ... P(a}.

La fonction entière de z, F(2 + u9,, p,) à d’ailleurs, manifestement, un diviseur commun avec l’une des fonctions V,(2), avec V;(2), par exemple. Si nous désignons par (2; p,) le plus grand commun diviseur de ces deux fonctions, déterminé de manière que le coefficient de la plus haute puissance de z soit égal à l'unité, et par (2; p,), d(z; p.), (2: p.), Y(z; p.), des fonctions entières de z, nous pouvons donc écrire

V, (2) == p(z; p1)0,(; P;) Fe + up,; p,) = ge; p,)6,(e; p;) 8,(e; p,) = D; p,)Vi(e) + Fe; 0,) Fe + wp,: p,)

ou, plus simplement, d’après la convention faite au début de ce paragraphe

6e 01) = Dv(P(e); F(e + 0,3 p)].

Mais toute fonction rationnelle de 9 qui s’annule pour -une racine p, de l'équation irréductible (0; R', R”, ..., R®) — o s’annule également, d'aprés ‘un théorème bien connu, pour toutes les racines y, de cette

Fr

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 45

équation. Les trois égalités précédentes subsistent donc si nous changeons #1 en p,, et nous avons ; |

(2; jo) = DvfV.(z); Fe + wo; pi)]. (E=1,9,..,)

Deux quelconques des fonctions 4,(2; p,) et #,(2; 9) sont d’ailleurs premiéres entre elles; car elles sont respectivement contenues dans les deux fonctions Æ(2 + wo,; p,) et F(2+ w9,; px) que nous savons être sans diviseur commun. Si donc nous considérons le produit