SUR UNS CLASSE D EQUATIONS AUX DEBIVEES PARTIELLES

Nous obtenons en somhie

Développons en série, en posant u = 'L — z^,

D'où, pour le logarithme, ce développement :

^V?-^--^(\/?)'+--[^i=-vï(v/?)V...].

Si l'on multiplie par — g(u — rfs,)* et que l'on tienne compte du

troisième terme en \[dzl, l'on voit que l'on a en facteur {dz^Y àa.n% la somme des deuxième et troisième termes. Tenant compte du premier X(c?2,)*, l'on obtient en somme, (i étant yîni quel que soit dz,^

Ja= ii(dsj-^fff?\^dxdydz.

Le second terme est seul à conserver et Ton a

K=fffF(x,y,z)[y,(,x,y,z)-\,(x,y,z)]d-!.

i8 H. d\dhém.vu.

Remarquons maintenant que l'on peut écrire :

V^(j;, y, s)=\^,{x, y,s + dz,\ d'où

Lorsque dz^ s'approche de zéro, A' vient en A, V^. devient V^, et l'on a

..«(..,^.,..)=-///F^.,=///Fg.,,

lAftr) Ikbc,

résultat assez surprenant par sa simplicité.

D'ailleurs -

■i,u(^x„y„ .-.) = - F(S, ,,, ï)///^ A OU enfin

ï. Élude de l'intégrale d'après une formule d'Ostrogradski. — Comme nous le disions, il serait assez long d'étudier directement les dérivées de

(') Pour élre rigoureux on ne peut appliquer celte formule que dans une ré-

Or la première fonction est infinie sur la verticale passant par A' et la deuxième est infinie surlecAne A'B'C. On isolera donc la verticale par un petit cylindre vertical et le cane A'B'C par un cdne ou un hyperboloïde intérieur à ce cône. Dans les pelils volumes ainsi isolés, on remplacera (V^ — V^.) par aVji- et l'on verra que Vinfluence de ces volumes inlinimenl petits est nulle.