SUR UNE CLASSE D ÉQUATIONS AUX DKHIVÉES PARTIELLES. I

Nous allons donc reprendre tout ceci en faisant usage d'une formule, convenablement interprétée ('), d'Ostrogradski.

Établissons, d'après M. C. Jordan (*), la formule d'Ostrogradski, simplifiée pour notre usage. Soit

1= I I I tf(x,y, z)dxdydz\

WI)l|

le champ d'intégration W, comme ç, dépend d'un paramètre X. 1+41= f 1 f(f-hA<:f)dxdydz.

Nous voulons calculer

àl y al

Pour cela, amenons les deux intégrales à avoir même champ d'intégration. Nous y arriverons en faisant* correspondre à tout point (x, y, z) de (W -i- AW) un point (X, Y, Z) de W par les formules :

iwec la condition que la transformation vaille pour passer d'une frontière à l'autre. \, 1], X, sont des fonctions infiniment petites assujetties à cette seule condition.

Alors

l + M=fffWidXdYdl,

(') Note de l'auteur dans les Annales de ta Société scientifique de Bruxelles, 190a.

(') Court d'Analyse, a« édition, t. III, p. 53o. Paris, Gaulhier-Villars.

D ADHÉHAR.

J étant le jacobien,

àr, âX

^ étant la fonction ip + Aç exprimée en X, Y, Z. On a

•' = ' + â + ^ + i+'"'P''"' Or

Donc

Aç(3r,y,i:) = 4ç(X,Y,Z)-

Enfin, l'on a - -

<■) '"=///[5î'^^ + ^(T5)+^(T,)+4(ïi;)]rfXrfYrfZ;

c'est la formule cherchée. Appliquons-la. Soit "W = A6c.

Pour avoir la dérivée par rapport à z^ , faisons X = Sj, AX ^ Azç= AA'.

W-i-AW=A'6'c'.

Alors'

Soient S" et S' les surfaces obtenues en abaissant S respectivement

de AzJ et 1^* + As,,

vol. A'i'c = vol. A' 6', c', + vo[.(6'c', b\c\)^

SUR VVS CLASSE D EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. SI

nous ferons correspondre A'b\ c', à A ^ de W par les formules

Ç ^ o, ï] ^ o, K^ 45, = const.

Puis nous ferons correspondre (b'c', f>\ c',) à (ic, Py) de W ou, aux

Fig. 3.

mûaimeiït ^eti\s d'onze supérieur Tprks : (b°c',b\c\) k{b"<f, Py) par les formules

Z, étant la cote d'intersection de la verticale du point avec S. La formule (i) donne ainsi

La deuxième intégrale donne une intégrale de surface Aï, ff fdKdY.

La troisième intégrale donne, de même, une intégrale de surface

•2 H. D'xDBiMA».

étendue à bc qui est nulle, puisque alors Z, — Z = o et une intégrale étendue à ^"y

- f ffAz,dX.dY,

(..rf.pT)

puisque, sur ^f, l'on a

Z, — Z^Az, + AzJ.

Nous obtenons, en somme, en remplaçant maintenant X, Y, Z par

{itc> (c4mA«c|

formule fondamentale dont nous allons poursuivre l'application.

5. Expression de «(a;,, y,, s,). — Posons ç = FV^, <f étant nul sur le cône, nous avons de suite

(Aftf)

expression obtenue directement (n° 11).

2'Ku(x„y„z^)=fffF-^dz,

4. Expression de -T-\u{xt, y ^, 2,) . — Soit posé ici ç = F-j-*, n a

La formule ne doit pas être appliquée brutalement, mais, l'élément différentiel devenant infini sav te cône A.bc,

je regarderai ce cône comme la limite, pour e = o, de l'hyperbololde

SUR UHE CLA.SSE d'ÉQUA.TIOH8 AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 23

D'ailleurs, -y^ et -~ ayant toujours le même signe dans le domaine intérieur au cône, nous pouvons d*abord faire sortir F de l'intégrale; ensuite majorer en remplaçant S par H, le plan horizontal le plus haut, de côté Z, ayant un point commun avec S. On a

■ \fff\<\ffn

= ait / dz-~~l (z^Zt)dz.

Pour le cône, nous avons encore

mtf) UBC)

Nous considérerons le cône comme la limite de l'hyperbololde

d'où

El à', "

lim

(puisque la normale extérieure fait, avec Qz^ un angle obtus). En somme

îitAa = il. j e.F(E, ,,, î:)[27t(z - j,) ;(z - z,y\ + 9;f(5',v,!:')î(z-^.)-j,

aveco<ô*-<i, o<;ô'4 <i (puisque l'on a remplacé A 6c par ABC), (Ç, ï], Q étant un certain point moyen du volume Khc et (Ç', »)', C) un point moyen de la surface du cône A&c.

34 H. d'aDHÉHAB.

Choisissons E et t' tels que les deux infinis se détruisent et il reste

(Z est la cote du plan majorant H). Mais le fait de prendre ainsi les deux infiniment petits e et e' tels que les deux termes infinis se détruisent peut paraître artificiel et laisse subsister un doute. Je vais donc montrer autrement que le coefficient de As, est bien fini. On a

ds. \ dst) ds, âi ds\ ds^J

car, évidemment,

dV ^, ^ =

d'où j 1 j ' premier terme du coefficient de àz^, est égale à

{Xte\

Iktc} ItdiiJtAc+Hrt.Acl

Le coefficient de Az, est donc

rdV dF

rA*r|

fffË-J.'"-ff^^,^''y'

et l'on voit bien que les deux intégrales infinies sur le cône Abc se détruisent.

On peut, d'ailleurs, en majorant les deux intégrales ci-dessus, retrouver la forme de la dérivée relative à 3„.

S. Expression de ■^u{Xoyy,, a»). — Pour obtenir la dérivée en x^y ou en y,, nous emploierons la même formule d'Ostrogradski, adaptée d'une manière un peu différente. S étant la surface qui porte

SUR UKK CLASSE D'^QUATtOKS ADX DÉRIVÉES PARTIELLES. 25

les données (nulles), S' et S" seront les surfaces résultant d'une translation parallèle à ox et égale respectivement à (Aa;,-)- AxJ) et à ^x\. Il est inutile de tout répéter, soit

KKht\

L'on trouve

L'on verrait, comme au 'n° 4, que le coefficient de Aa?, est la partie finie de l'intégrale de volume, car il y a deux termes infinis sur le cône Xbc qui se détruisent exactement. Mais, si l'on remarque que l'on a

^V — fCOSa

Ton constate que celte fonction est négative à droite du plan parallèle k zoy passant par A, positive à gauche de ce plan. Il faut donc appliquer séparément le théorème de la moyenne dans chaque région, en même temps quel'on majorera par le plan H de cote Z. Donc

en majorant, nous prendrons les intégrales dans les volumes AGC et AGB qui, par la formule de Green, donnent des intégrales de sur-

26 u. u'adhkmau.

•jj" Sur le cône ABC, on a des termes infinis dont, on l'a vu, il n'y a pas à tenir compte;

3" Nous avons enfin des intégrales étendues au cercle BC ;

Fig. 4-

Pour la première

/cosa«^a / — ~ "'. ^rdr „ J, rv/{Z-=.)'-/'»

= / cosarfa(Z — 3,)[arcsin(o) — arcsin(i)l = — iï[Z — s,],

et pour la seconde, les limites pour a seront - et — , d'où

en somme

2TîA«(x„ y„ z,) = A:r„.7ï[Z - z,l[6„F(Ç„ r^„ î;,) - 6,,F(Ç., »!„ i;.)]

(les deux coefficients sont compris entre o et t , égaux à i lorsque bc se confond avec BC) Enfin

■T— «(ar„, y„ zA~ -^ — — — -\ù — zA.

Il est bien assuré que nous avons une expression analogue pour ^«(^0-7.' s.), par symétrie.

Remarque. — L'on peut calculer les trois dérivées secondes; l'on trouve, pour chacune,

6 ayant une limite supérieure facile à évaluer.

6. GoNCLusioH. — Il résulte de tout ce qui précède que l'intégrale et ses dérivées premières prennent les valeurs données zéro lorsque (x^,y„ Zg) vient sur S si (Z — a,) tend vers zéro, lorsque A se rapproche indéfiniment de S. Ceci a lieu s'il y a unicité de section de S par tout cAne A et si les plans tangents de S sont inclinés à moins de 45" sur le plan xoy.