CHAPITRE II

tTODB DE l'iSTÉGHALE ET DE 8EB DtlIYiES, LES DONHBBS a la FBONTlfilS fiTAHT NULLES.

L'on peut faire celte étude directement en partant de la définition même de la dérivée; c'est ce que je montrerai toutd'abord en obtenant une forme explicite de «(a:„y«, Jj)- L'on pourrait faire de même pour les dérivées, et l'on rencontre des études intéressantes d'infiniment petits; mais c'est long et, pour l'étude complète, je prendrai un autre point de départ.

1. Étude directe (') de l'intégrale. — L'on a : si l'on convient d'écrire

J'affecte la lettre V de l'indice A pour bien montrer que la fonction auxiliaire V varie avec le point A (jct,y,, z„). Nous devons évaluer la dérivée -j^^-

Donnons pour cela à s^ un accroissement inâniment petit dz,. A vient en A' et l'on a

J^.=fffV{x,y, z)y^.di.

(') Communiqué à U Société mathématique de France, juin 1901.

i4 R> d'adhémar.

La dérivée cherchée est

Évaluons

Oq a évidemment

Fig

Considérons d'abord la deuxième intégrale; Y^ ayant un signe constant, Ton peut faire sortir F de l'élément différentiel (théorème de la moyenne) ; nous avons donc à calculer

V^rfT,

le volume d'intégration étant le volume compris entre les deux cônes. Comme, d'ailleurs, on a

Va>o,

nous augmenterons l'intégrale en augmentant le volume, c'est-à-dire en remplaçant S par le plan horizontal le plus élevé qui ait un point commun avec S (il peut être tangent à S, il peut ne l'être pas).

Application systématique du théorème de la moyenne, emploi de ce plan horizontal majorant, voilà d'ailleurs la marche constamment suivie dans ces recherches.

SUR BNB CLASSB d'bQUATIONS KVX DÉBIVÉES PARTIELLES. l5

Calculons donc

[AAIB'CI

Le volume se décompose naturellement en deux parties : APQ et BB'PA'QCC, mais la fonction V^ jouit d'une propriété remarquable. Pour tout volume conique régulier l'on a

fff''^''^=fff''-

Donc notre intégrale relative au volume APQ est égale à 5 A A' et,

comme AA' =; ds^, elle est du troisième ordre. Évaluons l'intégrale relative à BB'PA'QCC Soit

f'^^^ dzf^^'dâ^'"^^ log [i^ + \/(^)'-i I rdr

(Z est la cote du plan majorant).

Or

=!?'°s[^+\/C-^)"-]i-'-^iv'(-».)--'i.

Ici, en prenant pour r les limites voulues : z — z^etz — z, — dz^, l'on a

-t- ^^^-^1/2(3 — 3a)dZa — dz\.

L'intégrale relative à l'angle polaire a donne ait ^constante sans importance). Il reste à intégrer cette dernière expression par rapport àz.

i6 R. d'adhéhab.

Intégrons, par parties, le premier terme. L^on obtient ( ' )

- i(z - .. - a..yiog[^Si^, + \/{zêi^y-']

(s — ;„- rfso) v'2(5 —3.) ds^—dz* il faut ajouter l'intégrale du deuxième terme

ds,

^f'^^/-^sX^-z,)d

Laissons le terme tout intégré et réunissons les deux intégrales précédentes; cela donne, pour élément différentiel,

„,, ' ^. 1 3(-- - --.)[=(= - --.)''=. - rf-i] - (I - --. - dz.ydz.u

o^a (s — 3o ) rfs, — rf;;

Les termes en c?zj et dzl dans le crochet donnent naissance à des

termes en dzl ^^ ^^l l*'' ^^ jouent aucun rôle puisque, pour avoir la dérivée, on divisera par dz^, et il reste à considérer

Ici encore nous n'avons à conserver que le reste étant d'ordre - au moins en ds^.

(■) Ed elTel, le terme soustracti/ de la partie inlégrée est nul, car, si l'on

l'on doit avoir D'où