CHAPITRE III

ËTDDB DS L'IKTIORALE, US DONHGBS n'ÉTAUT PAS NULLES A LA FBOHIIfcRE.

Nous devons maintenant prendre A(u) ~ o avec des données non nulles sur S.

L'on peut faire d'abord une remarque du plus haut intérêt.

Comme dans le cas de l'équation hyperbolique à deux variables, . cas traité par M. Picard ('), il faut d'abord qu'il y ait unicité de section de S par tout cône A.

Ceci exclut les surfaces S présentant certaines ondulations dans leur forme. Mais, en plus, l'on constate immédiatement ceci, c'est que les surfaces S ne doivent avoir aucun plan tangent incliné à plus de 45" sur le plan xoy. Sinon, en efFet, soit un point A infiniment voisin d'un point (i) de S, le c6ne A du point A découperait dans S une aire finie et donc, certainement, la valeur de u en A ne dépendrait pas seulement de la valeur «, (^).

Réservons donc, pour l'instant, le cas où les données seraient

(') Bulletin des Sciences mathématiques, 1899. Voir aussi : J. Hadaiiard, JVote sur l'intégrale résiduelle (Soc. math, de France, 1901,

(*) Par exemple l'on ne peut prendre pour S la surface étudiée par M. Vollerra (p. 217), savoir : une portion de cylindre vertical limitée supérieurement par un plan horizontal.

ao H. D ADHKMAR.

portées par un cône A' et éludions rintégrale à la frontière. Cette étude étant difficile nous prendrons d'abord pour S un plan P.

1 . Etude de l'intégrale à la frontière pour des données quelconques portées par un plan. — Par rapport à des axes passant par A, soit

z' = ax' ■+■ by+q

l'équation du plan P portant les données. L'on sait que l'on a

parce que le plan P doit avoir une inclinaison sur le plan horizontal moindre que 45".

Fig. 5.

Nous étudierons donc u{x,, y,, z,) lorsque le point A(x\, /,, s^) vient sur P.

L'on voit que lorsque A s'approche d'un point (i) de P, q tend vers zéro. Ceci est fondamental à remarquer.

Reprenons la formule qui donne l'intégrale

le champ d'intégration étant l'aire de P intérieure à A. Soit, en général,

l=J'J'f(x;y)dxdy.