SUR UNE CLASSE D KQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

L'on verra (II' Partie, Chapitre I, n" 3) que l'on a

'"=//h + s<T5)+|(9i)]'fe<'y-

Comme les deux derniers termes donnent une intégrale étendue au bord de Taire

fi^.X'dl,

l'on voit que si f s'annule sur le bord, l'on obtient la dérivée de I en dérivant la fonction ç sous le signe ; mais si la fonction f ne s'annule pas sur le bord, en particulier si elle devient infiniey il n'y a aucun intérêt à scinder en deux parties l'intégrale ùA. Donc

2itu(j;o,>',, a,) = J, + J, en posant

u, désignant la constante^ valeur donnée de u en (i) sur P. Mais la formule de M. Volterra représente l'intégrale du problème, si elle existe.

Ceci nous donne aussitôt une identité importante :

Nous allons donc prouver que J, d'une part, et d'autre part

■''=s;t//("-"'>sR''''i'

tendent vers zéiv, lorsque A tend vers (i).

R. D ADHEMAH.

2. En désignant par (^)ii une valeur moyenne delà fonction s dans un champ, l'on a

où Ton a posé, pour simplifier,

Or l'intégrale / / -^ est facile à évaluer ('); elle contient q en

facteur.

Donc J, s'annule avec q.

Voici un premier résultat obtenu.

itude de J*.

S. On a

rfV

-TT^ cos(n, z) -h " -■■ \~ cos{n, /■)

Ici C03( n, tf ) = K = const. et dx dy =; K da. Représentons par ^ la quantité

J, est, à une constante multiplicative prés, J^ Il faut voir que J, tend vers zéro lorsque A tend vers (t).

(') L'on se sert des byperbolot'des {z — z„y — r- ■= \i? et l'on h une intégrale simple en [X.

SUR UKE CLASSE d' ÉQUATIONS A.UX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3l

D'après la forme trouvée pour Al, en remarquant que dx àx ds

= 5 + ff^

dy dy nous avons

Ici ç = (a — «1)5» d'où

et deux expressions semblables pour^. ^■ Écrivons J, = J, + J,