Considérons J
Le premier tenue ^ donne une partie de J,, qui tend vers a^ro aver ^. En eflet les quantités
33 R. d'aDHÉHA^R.
sotil finies et les dérivées de u sont supposées finies sur ta sur/ace P, et l'on a tu que
tend vers zéro avec g.
Considérons le deuxième terme de ^ et ne gardons sous le signe d'intégration que
qui a un signe constant.
Sur le plan P on a
(m = ocosw +6sinw et jmKi parce que a* -+- 6*-<i). Il reste donc à considérer
Ceci comprend d'abord
fit'
qui tend vers zéro avec q; puis
Il faut montrer que l'intégrale placée devant q reste finiff. Écrivons
R = v'(z-J,)»— r"=en posant
I — m* j t = dr.
SCH UNE CLASSE d'ÉQVATIONS AUX DÉBIVÉE3 PARTIELLES. 33
Laissant d'abord to constant (c'est-à-dire m = acos<i> -+- ésinùi = const.), nous avons une intégration en u
du
i r du
entre les limites u= i, u = —m. Cette intégrale est /înie.
Puis il faut intégrer en (o et, comme on a r — m':^o, cette intégration donne encore un nombre Jini.
Donc J, tend vers zéro lorsque A tend vers le point (i).
S. Considérons 3 ^.
Prenons d'abord le dernier terme
^rdrdbi.
Jusqu'ici nous n'avons nullement fixé les variations de ^ et t], qu:
sont simplement astreints à coïncider à la frontière avec les variations de l'a; et de ly de la frontière.
Nous pouvons poser
Ç = pcosw
= ps
et prendre p identiquement nul dans l'aire, sauf dans une couronne loucbant le bord de Taire et intérieure à l'aire, comme cela a été indiqué déjà.
p contient, en tous cas, As^ en facteur, de sorte que -^ l-x — l- ?^)
Et -e \ ^ J/
est /im comme 77 et -f •
D ADHEHAB.
Dans ces conditions, le dernier terme de J, donne zéro lorsque q tend vers zéro; et ceci résulte de l'étude de J,. Prenons ce qui reste de Jj, soit
^ ' v/Jï+i' + i^ '
COSti> = ^, 8int>>=i^ ^f
d'où
J lV\-.à(i\ r -('--■) I '<"(«.'■) .
as, VR/ "■ àz VR/ ~ H" K r •
D'ailleurs
Si [h ~7-™'("' '■)] = R -^ c(<""<"' '■)!
+ ijCos(n, r) A (iZiî) + ^cos(n, r)^ (i)
= " ■■■ ;' - cos(n, r)KïCoscd -H ^cos(n, r) ~ - " ,— -cosoi
D'après la forme de cos(/i, r) ses dérivées a; et y contiennent - en facteur.
SUH UNE CLASSE DSQtlA.T10KS KVX DE8IVEES PARTIELLES. L'OH a
cos(n, r) = — (nmaM -|- ésinto),
acost«n- ftsinw =
aix — x^y-hl/iy — yo)
5^ [cos(n, r)] -i- ï)^[cos(/i, r)l
r à . dl m m
Le coefficient de (u ~ «, ) dans J, est donc
■4- ''~'° cos(n, /■) H-(cos'(o-H Rin'w)
c'est-à-dire
~ [k + :^co8(„, /■)] |'(= - z.) - 4™(= - =.)]
■ co!(/...-)/ p \ 1 cos(n.r) p , . ,
ou bien
± [k + ^ cos(„, ,)] [( = .-.)- ^ „,(. - .-,) +■ A ,] ■ 52!l;!^)(, X,„) +■ i ■(.,.)[ eoK», -■)]. Uepi-ésentons les trois termes ci-dessus par H,, Ii„ H, et reportons-
36 11. d'adhémar.
nous aux valeurs de J, et Jg dont J, est la somme. Posons
D'après ce qui a été dit, nous avons Tidentité
-Ulh^
rfN^'l
const. = /Y(H,-t- H,+ H,+ H,)(f(ï,
puisque, si Ton fait u= i, tous les termes de J, disparaissent.
Or les parties de cette intégrale relatives àH„H„ \{^ ont un sens, c'est-à-dire que les portions d'intégrales voisines de l'axe r=o et voisines du cône z — z^= r donnent zéro à la limite quand on fait évanouir l'aire entourant la ligne singulière.
Donc il en est de même pour
6. Ayant constaté ce fait fondamental qu'il ne serait pas facile de mettre directement en évidence, il nous sera aisé de montrer que
/Y(u-u,)(H, + Ha-HH,+ H.)dff
tend vers zéro lorsque A vient vers (i) [oulor8que(B — «,) tend vers zéro, puisque la fonction est continue].
En effet, si u admet des dérivées premières finies, ce qui a été supposé, le théorème des accroissements finis permet d'écrire
"j* étant une fonction finie.
11 résulte des études précédentes que
//f /-(H, -h H, -)- U,)rdrd>a
tend vers zéro avec q.
Il reste à étudier
ff{u-u,)H,d<j.
Décomposons le champ en trois parties :
i' D,, petite aire autour de l'axe : /■ = o; 2" Dj, petite aire autour du cône, z — z^ — r; 3" D,, aire restante où H, reste fini.
Dans D, écrivons u — u, = r.'\' et nous trouvons zéro pour l'intégrale lorsque D, s^évanouit.
Dans Di Félément difTérentiel a un signe constant, car on a
|cos(n, /■)i<;K = cos(n, 3)
puisque
d'où
d'où
K + i=i'cos(n, /■)>o;
d'ailleurs on a
d'où
3& B. d'adhkm&u.
d'où
L'élément de H, est positif. Donc nous pouvons mettre (a — «,)„ hors du signe d'intégration et nous avons encore une intégrale qui tend vers séro lorsque Dj s'évanouit.
Enfin, dans D„ il y a une partie où l'élément est négatif, mais celle partie n'atteint pas le bord, d'après ce qui a été vu.
La partie négative, ombrée sur la figure, est tout entière adroite de la ligne pp du pian horizontal et à angle droit avec la normale.
Pour chaque région on peut faire sortir (« — u,)„ du signe d'intégration et à la'timite, puisqu'on aura
lim(« — u,)x = o.
On trouvera en somme, à la limite, la valeur séro pour
ff(u~u,)U^d<j.
7. Conclusion. — La convergence est établie pour des données quelconques portées pur un plan incliné de moins de /iS".
Il suffit de modifier très peu tout ce qui précède pour établir la convergence lorsque la surface S portant les données est quelconque avec plan tangent toujours incliné de moins de 45" et unicité de section par tout cAne A.
L'on pourrait, de la même manière, étudier la dérivée conormale.
Pour la convergence de u à la frontière, il fallait que la fonction donnée u admette àts dérivées premières finies ; poui- la convergence
de ^ il faudra que u admette des dérivées secondes finies.
Tout est changé si la surface S est un cône A à 45"- Abordons l'étude de ce cas relativement auquel nous avons un théorème intéressant.
SUR t'NE CLASSE D^ÉQUATIOHS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Zç)
