PREMIÈRE SECTION

On donne u non nul sur le cane,

Fig. 8

Il faut, comme précédemment, examiner l'expression

et voir si elle tend vers zéro lorsque le point A.{x^, y,, ;,) se rapproche du point (i) situé sur le cône Û, u, étant la valeur donnée de u au point (i).

1. Écrivons encore yj{z — z^y — r^ = R et éludions l'intégrale

40 H. d'aDRÉMAR.

étendue à Taire découpée sur le cône par te cône ayant son sommet en A.

Grâce à la symétrie, nous pouvons transformer l'intégrale de surface en intégrale simple avec la variable [x. qui définit l'hyperboloïde

L'hyperboloïde de paramètre [jl et le cône û se coupent suivant Tellipse

— luXtX' ~ luy^y — u} I

L'on a posé

L'aire de l'ellipse, à un facteur constant près, est

Or

D'où, à une constante multiplicative près.

dtS = p«rftt= i^(X'— fJL*)fw/(A.

Ainsi, l'on a

Or ce qui marque que le point A vient sur le cône A, c'est que X tend vers zéro. Puisque X n'intervient pas dans l'intégrale J,, celle-ci ne

SUR UNE CLASSE O ÉQUATIONS AUX DÊBIVÉES PARTIELLES. ^i

tend pas vers zéro lorsque le point A se rapproche de la sur/ace des données.

C'est Vinvcrse de ce qui arrivait avec une surface quelconque. Nous prévoyons que le problème de la convergence va se présenter avec une surface privilégiée, d'une manière taule nouvelle.

L'on a donc ce résultat, par le théorème de la moyenne :

j r fdu do tend vers

lorsque A vient en (i); s^ étant la cote de A, C, une constante et ( jûj une valeur moyenne de ~ sur la génératrice du cône Q qui passe par (i).