Étudions maintenant
OÙ l'on a posé
r = cos(n, z) -h- "* cos(n, r).
Suivons pas à pas l'élude analogue faite avec une surface quelconque. L'équation du cône est
("nous conservons la lettre r pour la distance polaire au point A), d'où
j- = = — cos9,
àa —y . ft
-r = — - = — sin9.
oy r^
— cos9 et — sinft remplaceront a et A dans les dérivées ^ > ■£-• Le
42 R' D'ADRÉMAn.
terme («S + &ï)) devient
— (cos6.ÇH-sin0.ï]).
Or
Ç = pcosu; ï] = psinto, donc
(ai + br,) devient
— pcos((<) — 6) = pm,.
Nous aurons m, à la place de m, mais m, étant un cosinus, l'on a toujours
l-n.K', inégalité importante à noter.
Jj donne donc d'abord un terme J, qui contient 5 en facteur dans l'élément différentiel
La partie entre crochets est Jlnie si la fonction donnée u et ses premières dérivées sont finies. L'on a donc
Or ceci tend vers zéro lorsque A vient sur le cône, car F devient nul, comme on le voit sur la ligure,
cos(n, 3) ^ cos^i
C08(n, /■) = cos(- + 7) = — cost"'
Donc
r = cos(n, z) •+■ ~ — ~ cos(/i, r).
J, = J,-l-J, et J4 devient nul quand A vient sur te cdne.
S. Etudions Jj :
L^on a, sur tout le cône,
la dérivée est nulle. Lvatuons
Les cosinus de n sont
cos(n, z) = ^, C08(n, r).
r,^2 ''iV^ fi\/^ V^
cos(n, r) = ~=(co8MC08e -h sinwsinO)
^ L ^(j' — j'i,)-<-r(r— r») Les dérivées en z ou en z, sont nulles et il est inutile de calculer les
44 R. d'aDHÉHAR.
dérivées en a: ou en ^ parce que l'on a p en facteur. Or p étant nu/ sur l'axe vertical de A, les puissances négatives de r ne peuvent empêcher la convergence,
En somme nous avons, pour coefficient de (« — u, ),
~ [cos(n, 3) + î^cos(n, /■)] [(s ~s,)-^^m,(z- z,) + ^ r] ,
+ i ^ 4(- — «e)[X,cosw + Xjsint>) — cos(/(, r)].
Parle même raisonnement qui a été fait pour le cas d'une surface quelconque, l'on voit que les intégrales contenant ôî> comme celles
contenant sri ont un sens. L'on a d'où
et
cos(/i, r) = m, ^> d'où
cos(n, 3) + ''~"* cos(«, /■) >■ o
sur le bord du cône A", puisque, sur tout le cône 0, l'on a :
is(n, z)
et, sur le bord du cône A' de sommet A :
D'ailleurs p est idenliquement nul, sauf au voisinage de ee bord.
SUR UNE CLASSE d'ÉQUATIONS AVX DÉRIVÉES PARTIELLES. ^5
Donc — Jj se réduit à deux termes, celui en
et celui en
Rïl V ■■ ;r-^cosf/i, r)\
Le premier terme donne une intégrale J^ qui se réduit à zéro lorsque A vient sur le cône û en (i), car on a, à la limite,
Donc enfin J; se réduit à
4. Conclusion. — Il faut, pour la convergence, que l'on ait, lorsque A vienten (i),
lim J, = o avec
-fm-
^cos(/(,r)|-g-
Je ne saurais dire si ceci est vérifié quelle que soit la fonction donnée (continue). .
l\6 R. d'aDRÉHAR.
J'abandonne celte question pour l'instant, car l'on voit à quel point te maniement de J, est difficile :
Le champ d'intégration devient nul (étant infiniment petit du pre-^ mier ordre);
L'élément d'intégration devient infini, d'une manière particulièrement difficile à manier.
L'on peut esquisser une vérification pour le cas où la donnée serait
mais l'on ne voit pas bien, sur ce cas particulier, que! est le mécanisme général.
La vérification serait immédiate pour le cas suivant : donnée constante le long d'une génératrice du cône. Mais alors, ta continuité de la donnée exigerait que ta région du sommet du cône soit remplacée par une portion de surface autre et se raccordant avec te cône.
