CHAPITRE I

I. Les conclusions de la première Partie montrent clairement que le probU-ine intérieur n'est résoluble que pour certaines formes de la surface des données. Imaginons, par exemple, que cette surface soit une sphère.

Menons par le centre un cône à 45". Dans la région intérieure au cône, inférieure ou supérieure, l'on se trouve dans les conditions exigées par le problème intérieur ; il n'en va plus de même pour les points intérieurs à la sphère et extérieurs au cône.

Nous devons donc étudier l'intégration de A(u) ^ F(j;, y, 3), lorsque la surface qui porte les données est analogue, au point de vue de /'Analysis silus, à un cylindre à axe vertical et est rf^coupee extérieurement joar le cône à 45° et à axe vertical.

D'où cette désignation de « Problème extérieur ».

qo R. DA.DHEM\R.

2. Principe delà méthode d'intégration. — L'idée de M. Volterra ne'consiste plus, comme pour le problème intérieur, à trouver une sorte de fonction de Green et à faire, une inversion d'intégrale, mais bien à revenir à une sorte de problème de Dirichlet dans le plan horizontal T passant par le point A.(Xf„ y^, -„).

Pour cela/Fon appliquera la formule (G) au volume limité par S et par le cône A (extérieurement) avec une fonction auxiliaire V discontinue au passage par le plan T, c'est-à-dire l'on appliquera deux fois la formule (G) ; i" au volume W" limité par le plan T" de cote (so-t- e); 2° au volume W' limité par le plan T' de cote (z, — t).

Comme nous aurons à faire plusieurs dérivations d'intégrales (dérivations que M. Volterra semble faire intuitivement), je vais donner, de suite, la théorie rigoureuse de ces dérivations.

5. Adaptations diverses de ta formule d'Ostrogradski. — I. Nous aurons d'abord à dériver, par rapport à z„ une intégrale de surface étendue à l'aire du plan T limitée par S

= I I <fd£cdy= i I frdrdat.

Soient donc C la courbe d'intersection de S avec le plan T : z = s^, et C, la courbe d'intersection de S avec le plan : z = z^-h As,.

Soit C la projection de C, , nous allons prendre un contour C" voisin de C et à une dislance BD infiniment petite par rapport à DD' cl

SUR UNE CLA39K d'ÉQUATIOMS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 49

nous aurons à établir une correspondance sur un rayon vecteur fixe, entre tes points de BD' et les points de BD . Pour celai i<>"s donnerons à rla variation p (I** Partie, Chap. I, n" 2)

' p ^ o, en B,

I p = DD'=A2,.cot(N,a),

en D;

ce qui donne, pour x pour y :

^ = p ces a ; T] ^ p sin a ;

La seconde intégrale se réduit à

/ ai.A3..cot(N,3).(rfycosa — rfa;sina)

= àz^f y. col(N, s) dl,

l étant l'élément de longueur de C.

Finalement,

4. II. Nous avons ensuite à dériver, par rapport à z,, une intégrale de surface étendue, par exemple, à la surface BC découpée extérieurement dans 5 par le cône A.

5o n. d'adhéma.b.

Soit AA' = Asj. L'aire' découpée BC devient B'C

Par une surface de révolution apy située à une distance d'ordre supérieur à i en Az* des deux nappes coniques, nous isolons une surface Py dont tous les points se correspondent à eux-mêmes. Puis, il faut faire correspondre les points de B'P à ceux de B^ et ceux de C'y à ceux de Cy.

Soient mn = dly mp = dk, (mnpq) = dldk et dK = K..d:.

Pour (m'n'p'q'), dl est le même et X éprouve une variation p :

p = o en p, p = KAz, enB;

ce qui donne, pour la deuxième intégrale et pour la partie supérieure I

Or d'où

/./'Xs(''f)'^*=/.J '"•"''-'••

Pour la courbe CC,, l'on trouve, de la même manière,

''ICC.

SUR UNE CLASSE D^ÉQUATIOHS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, 5l

en tout :

[*lr«eB,CC,)

et la partie entre crochets donne donc

àst'

5. III. Pour la même translation de CAB en C'A'B' nous aurons à dériver une intég^rale de volume.

Toujours de même l'on trouve

Iwtf. AB) noFf. ICi Oal. ABC)

Cela fait, nous pouvons intégrer, d'après M. Volterra.