Intégration. — Cherchons une solution V" de l'équation

qui soit nulle sur le cône supérieur A' et de la forme

/(6) + [logr)j(e), OÙ 1 on a posé

L'on trouve

V"=c+ / log(i — 9') . j ■ -f- logr(arc sin6 + c'),

il faut prendre

[Nous trouverons (II' Partie, Chap. II, n" 3) la valeur numérique y qui n'est pas utile en ce moment.]

5a n. d'adh^hab.

La formule (G) donne alors, puisque l'on a A(u) = F,

De même, soit V' nulle sur A',

\'= + ç+ f lojf(, ô»)^^ + [|ogr]^arc sm6 4- ^), l'on a

Ajoutons les membres de ces deux égalités :

-Irl-irlr ff^'-^'^-^'"'

(Tl

Celte dernière intégrale est donc connue en fonction de z^ et des données.

Nous avons donc

iTi

Il suffit de dériver par rapport k z = z, pour arriver au but. D'après le n" 3, l'on a

t =//(' + s'-e'-)^* +X,(? + -M') ™'(N, .)'^dt,

SVR UNE CLASSE d'ÉQUATIOHS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 53

u et ses dérivées étant donnés sur S, Fintégrale de surface est connue :

//(? "^ l io&'-)^'^« = h-

Or

dx' ôy^ dï'

d'où

j-j — Au = -

/ / (^ "^ "logrjAarfo> = J,+- / 1 (q -h -\og A F d(a — J,.

Mais V étant la normale extérieure à la courbe plane C, l'on a (problème de Dirichlet)

ff\ogrAudio+£^u^(\ogr)-\ogr^'jdl = %-;zu(x„y„z,). Ceci donne :

d'où

^'u(x„y.,..) = },-,£^dl + ^-£(u^^logr-]ogr^)dl=S„

J4 est connu, donc u aussi, si l'on donne, sur S, les valeurs de u et de toutes ses dérivées.

L'intégration est achevée, en principe, mais nous devons tout exprimer plus explicitement pour montrer que ^ intervient seul.