Calculons donc ^-î
Or
'i-lHHH-
54 !>• d'aDHÉHAB.
Pour alléger l'exposition, supposons a = o sur S, ce que l'on peut toujours obtenir par une dïfTérence d'intégrales.
j° Expression de -j- ( ■ — D'après le n" 5, c'est
W (Tl W (Tl
2° Expression de -r- i • — C'est le même résultat, car il y a ■ double changemenl de signe pour l'intégrale de surface.
3" Expression de-^ f I — ^"^^'^- — D'après le n° 4 c'est
4° Expression dc-r- f ■ — He même on obtient
Finalement
<>1, r nàW'j f du i)V' ,
+ 2f(q + ^lofr\Fda alors, posant W = W + W et S = S' + S',
SUR UNE CLASSE d'ÉQUATIOKS AUX DÉRITÉKS PARTIELLES. 55
Le crochet se réduit, dans l'intégrale curviligne, à ( ' )
enfin, donc
(') Soit M un point de la courbe C, Mv la oorraaU à C, Mn ta normale i la surface S. Soit MP =: i, on a
(a, ^, Y sont les cosinus de Mn).
Soient a, b les cosinus de Mv, on a
"-sin(«,*)-sin(N,,)'
Or cos(N, a) — — f, d'où
■ 9in(N, 3)
'dz\-"d^^"d^'
56 R. d'a.dhéhar.
c'esl-à-dire
C'est la formule donnée par M. VoUerra (p. igB), sauf que, si nous n^avions pas choisi la donnée u nulle sur S, nous aurions, en plus, un terme
que l'on ne peut mettre sous une /orme simple parce qu'il se présenterait des intégrales curvilignes dont l'élément différentiel est infini.
8. CoMcmsioK. — Cette intégration exige doncla donnée de u et ^ et l'unicité de la section extérieure de S par A.
Il est encore des surfaces privilégiées.
Mais V intégrale prend-elle la valeur donnée à Ut frontière? Ceci enlratne des conditions de possibilité et M. VoUerra a montré la présence d'autres conditions encore.
L'intégration précédente appelle donc quelques remarques fondamentales.
Jusqu'ici elle n'est ({wç; formelle :
Si l'intégrale existe, elle est représentée par la formule obtenue, mais la formule peut ne pas représenter une véritable intégrale du problème extérieur.
