CHAPITRE II
CONDITIONS d'eII»TBNCB DE L'IHTKGKALE DANS LE PIOBLblI BXTeRilUR.
Atddb d'dh cas particulier.
Soit donc A(«) = F(x,y, z) avec des données extérieures. En prenant des difTérences d'intégrales, nous pouvons supposer
« = G sur S,
1. La condition de M. Volterra. — Pour obtenir l'intégrale, M. Volterra emploie une fonction V qui se réduit à
K-t-K.'!ogr dans le plan horizontal T.
Dans l'aire découpée par ce plan dans le volume W il a alors à appliquer la formule ordinaire de Green.
De même, soit une fonction V, nulle sur le cône, se réduisant à
K = const.
dans le plan T.
L'application à la même aire de la formule ordinaire de Green donnera zéro d'un côté et une fonction des données de l'autre, d'où une condition imposée aux données.
La fonction V, intégrale de A(V) = o, sera, dans W",
V=arcsin^^^-^^ — -, dans W'
'V' = arcsin^^^j-^ + -,
et alors la même marche exactement que celle suivie pour intégrer donne
(Mémoire de M. Volterra, p. r88).
D A.DHEMA.n,
Cette condition de M. Volterra, qu'il ne commente aucunement, se simplifie si nous prenons F ^ o et devient
Je rappellerai une condition mobile puisquelle doit être réalisée pour toute aire (S) découpée par un cône A ayant son sommet en un point quelconque du volume W, en particulier pour toute aire (So) relative à un cône A ayant son sommet en un point x de S.
2. La condition de l'auteur. — Au moment où j'abordai cette étude, je proposai ( ' ) une autre manière de trouver une condition mobile. Toute intégrale de A(«) = o, soit ^(,x, y, ZyX^, y,, z^) nulle sur le cône A et exempte de singularités à l'extérieur de ce cône donne, par l'application de la formule fondamentale de l'Introduction, une condition.
Mais j'ai été amené à reconnaître que la fonction i^, que j'ai donnée, avait une dérivée discontinue, en sorte qu'elle n'est pas utilisable, et, à défaut de recherches plus profondes sur une équation de Laplace, je me borne à Signaler cette idée : on pressent que ^ peut exister et qu'une condition peut donc exister (■).
Mais il y a encore autre chose, dont M. Volterra ne s'est point préoccupé.
Il faut que l'intégrale prenne la valeur donnée à la frontière, ei ceci me donne, dans les conditions où je me suis placé, et où il faut se placer pour pouvoir faire une discussion, (So) étant l'aire relative à un point frontière Jb,
(') Comptes rendus, ii février 1901.
()) L'existence elTective de 1/ parait résulter d'une remarque énoncée dans la Thèse de M. Le Roux. '
su» UNE CLASSE d'ÉQUATIONS AUX DÉHIVÉES PARTIELLES. Bç^
c'est encore une condition mobile, mais relative seulement aux points Jb, et non, comme la précédente, aux points A et A,.
Avant d'aborder ta comparaison des deux conditions, je vais mon-
trer, sur un exemple simple, qu'elles peuvent parfois être compatibles.
5. Sur un cas particulier du problème extérieur. — Supposons les données portées par un cylindre à axe vertical et invariables pour une même génératrice. Soit a l'angle polaire qui caractérise une génératrice, l'on donne :
u = o sur le cylindre,
j^ —/(a) = dérivée normale extérieure.
Il est clair alors qu'il suffit d'examiner les conditions C, et C, dans une section droite.
La condition (C,) donne
fh
:/(a)Rda.d(3 — a,) = o;
r étant le rayon vecteur, par rapport à A, d'un point de la circonférence de la section droite, l'on voit que, pour une même généra-trice, = u varie de — i à -t- i.
R. D ADHEM&R.
Donc (C,) devient
ceci quel que soit le point A dans l'aire de la section droite. Donc ici la condition mobile (C,) se résout en la seule condition fonctionnelle qui précède (').
Fig. iS.
Envisageons ta condition (C,) et supposons d'abord JW dans le prolongement de bio/ ifig. i5), alors on a
r= jlM = aRcos-i
et M doit parcourir successivement les demi-circonférences aèj.,a&'-v. D'ailleurs
togi — — 1 = logaK -H logcos- + Iog(i — u*).
Donc Cï(.l.) donne :
rr logaR + logcos - -H log(i — «*) -=^=^f{'i)d% = o.
(') Et qui a une sigDÏtîcatioa physique: u étant un potentiel des vitesses, elle exprimerait que \efiux to^a/à travers la circonférence esl nul.
SUR UNE CLASSE d'ÉQDATIOHS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 6l
Il y a trois termes; le premier et le troisième nous donnent l'équation (^).
[L'on a d'ailleurs, en faisant
/ log(i — m') - = a / log;(cosf)ï/i'= a-log- (Eulbr),
jf '=ljr'=2,rlogi.
mais cette valeur numérique est sans importance.] Le second terme, au contraire, donne du nouveau, savoir :
/(a)logco8-rfa + / /(2it — a)Iogcos-dat = o
ou
/ [/(*) +/(2« — et)] logcos-(^a = o.
Supposons maintenant que te point A, ait une position quelconque .1,', caractérisée par l'angle h {fig- 99), la condition devient, quel que soit A entre o et 211,
/ [/(a'+A)+/(2Tt — a'+A)]logco8-da'=o.
En un mot, la condition mobile C, se réduit à ceci : l'intégrale
(y) &=f |/(a:4-y)+/(2iî-aî+y)]logcos J(^
doit être nulle quel que soit y entre o et ^-k.
63 n. d'adhbmjlr.
4. Je ras montrer, par l'intuitioD géométrique, que ceci est pos- Bible.
Soit, d'une manière plus générale.
3= f i^{x,y)dx.
L'on veut que z soit nul quel que soit y.
■ Soit 9(x,y) une fonction telle que
On s'imposera en plus que la surface
contienne deux droites parallèles à O^ de même cote, d'ailleurs quelconque, dans les plans
z sera bien nul, quel que soit y.
Il faut, bien entendu, que 4> renferme y, c'est-à-dire que la surface ne soit pas un cylindre. $ renferme un très grand arbitraire, donc f aussi, et il reste à résoudre Inéquation fonctionnelle
f{x+y) +/(2iï — a;-
logcos|
/ contient une part d'arbitraire comme f et l'on imposera, en plus, à/ la conditioa :
dix. =
L*on voit, sur ce cas simple, que les conditions de M. Volterra et de l'auteur peuvent bien être remplies en même temps, et même ici la condition (C^) contient la condition (C,).
SDR ONE CLASSE d'ÊQUATIOHS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 63
5. Sur un cas particulier (suite). Étude de la dérivée conormale. — Nous allons étudier la dérivée conormale dans le cas du cylindre portant des données constantes sur une même génératrice. Pour simplifier, prenons seulement un point particulier, le point j. sur wx*. En ce point l'on a
Le point x peut être regardé comme la limite vers laquelle tend un point A.
Étudions la dérivée de l'intégrale
--//^^^^tbin^'-^
iz-z^du
pour un déplacement AA'.
L'on trouve, comme toujours, d'abord la même intégrale avec, sous le signe, la /onction dérivée, puis deux intégrales curvilignes. Ces deux dernières \se détruisent lorsque la donnée est la même sur une même génératrice; cela est facile à reconnaître et je n'y insisterai pas.
Il reste donc
+ ±rfp-d.dz:
■iic' J J dx.
L'on a
dx^ du d^o à:rt [dz dr du}
Pour évaluer ( j^ ) .et ( j* ) . ^^^^^ prendrons les limites respec-
04 R. D ADHEHAR.
tives de
L^équation de la circonférence en a et r = AM s'obtient ainsi : rcostu = Jî, -H Rcosa,
d'où d'où
rsinta — Rsinac, r* = x\-h R*+ 2a7,Rcosa,
/àr\ R'sinat „ ■ "
( ) = = — Rsin ~;
Él.) -
Rfi + cosi) I .«
C^t) -InMÎl - ! Ue '--"-'->' /-(,)
-R.inî/(a)r^i— , ^
'••(.-"•)■ ^ -■ Ji
(l'on pose toujours ''~'* = «j.
Ainsi
SUR UHK CLASSE d'ÉQUaTIOKS At'X DÉRIVÉES PARTIELLES, 65
"d'bû les 4 intégi'aies, h — j prés,
U= f ho'-JW '— i'^' i-./r^ v'
J J aRcos- \v ' " /
l»= f /cos-/(a) — ' — fif " ■ • «/ «/ aRcos- v' — «
'•=//îi/(°')l'°s'-+'°g(' -"•)!''• (^,1"„.)- -
Mais, u variant dË — i & +i, les intégrales en u, dans I, et I^, n'o/jï pas de sens. , "
La présence des conditions (^) et ((/) /^^ élimine, fort heureusement.
Les conditions étaient donc bien nécessaires pour la convergence de la dérivée conorroale. Cojmme, d'ailleurs, I, est nul en vertu aussi des conditions, il resterait â étudier la première intégrale età montrer querl'on a bien
au' * J \ J Or
■ ■ Iogr=s logaR 4- logcos-i
On devrait avoir
( ■ "^ ~7^ y [/'(«) -/'(2iî-a)]cot^logcosîrfa.
66 R. d'adhéhar.
6. Conclusion. — En général, l'on peut dire que les deux conditions, celle de M. Volteira, celle de l'auteur, peuvent ou non être compatibles.
Peut-être, même, la convergence de la dérivée conormale à la frontière conduit-elle à une nouvelle condition mobile qui serait(K) pour le point particulier choisi et, pour embrasser tous les points frontière, plus complexe encore.
Le Problème extérieur appellerait donc des recherches excessivement difficiles.
