CHAPITRE I
BXTBHSIOM DD PkOBLblB BXTiRIBCK. — INTAGIIAnON DB L'Ut^ATION PIFTilDITULlI
■""' = 3ÎÎ + îpr + d? - -JF = '^<'' ^' '■ "•
1-. Si l'on passe de l'équation à trois variables A(u) à l'équation analogue à quatre variables B(u), la belle méthode de M. Volterra pour le problème intérieur s'étend immédiatement, sans aucune difficulté, comme l'a montré M. Orazio Tedone (').
Mais, pour \e problème extérieur, il se présente une particularité très remarquable.
Posons
(') Annali di Matematica, série III, t. I, i8g8. Milan.
SUR UNE CLASSE d'ÉQUATIORS AUX DÉBITÉES PARTIELLES. 6^
Dans le Mémoire que nous venons de citer, M. Tedone montre que la méthode de M. Volterra s'étend facilement aux équations
A'"''(tt) = F (problème extérieur).
// n'est pas question des équations
A*"*'''(u) = F (problème extérieur).
Or nous avons exposé, dans la deuxième Partie, la méthode de M. Volterra pour le problème extérieur relatif à
A(u) ou A'''(«).
Ayant essayé de généraliser banalement cette méthode au cas
B(tt) ou A''(«),
nous avons reconnu une impossibilité absolue.
Il est inutile de transcrire ici les calculs : l'on ne peut aboutir.
M. Coulon m'a dit l'avoir reconnu de son côté.
Par une voie très sensiblement différente l'on arrive, au contraire, à intégrer l'équation ( ' )
B(u) = F(a;,^, s, i) (problème extérieur).
Il faudra prendre des fonctions auxiliaires V autres que celles de M. Volterra, les combiner d'une manière différente, enGn effectuer deux dérivations au lieu d'une.
2. Afin de faciliter l'intuition des choses nous parlerons le langage géométrique dans l'espace à quatre dimensions :
ttf p, Y, 6 seront les cosinus d'une normale extérieure ; nous écrirons
di = dx.dy.dz.dt,
B.dtii = dx.dy.dz\ (*) J'ai annoncé ce résultat à l'Académie des Sciences le i5 décembre igoa.
68 H. d'adusmar.
enfin quand nous écrirons' <^,' par analogie avec le cas de Tespàce
ordinaire, ce dl représentera un élément de variété & deux tUmet\~
sions(').
II est bien évident que la formule fondamentale (G) dans Flntroduction s'étend immédiatement.
Nous appellerons encore T le plan horizontal de A, ï ^ 1^, et A le cd/iede A, r= ï— /j, ...
lr'=(x-x,)'+{y-y,)'+(z-z,y].
Nous affecterons de deux accents les éléments supérieurs a T, d'un seul les éléments inférieurs.
Fif!- '7-
t>-,.jfc.i.)
Les fondions auxiliaires, solutions de B( V) = o et nulles sur A" et A', seront
yr^ r-jt-t,) ...
y. ^^ ---t- ('-'.) r Dans le plan T on a
(') Voir le calcul élégaut de dlp d'uoe vnriélé à p dimensions dans un espace à R dimensions dans le Mémoire de M. Poincaré {Acta mathematica, t. XXII).
SUR. UHB CLASSE D'ÉQUATIOnS.'^tX.rX>BRIVBES PARTIELLES. 69
Enfin l'on a constamment :;.•;.,/.(
, , dV* -I -, dV'..- ' . \ i '■
(^> ^ = ~ = ^.-ar- ■" ;■■■!
5. Intégration. — Appliquons à W et^à W' la formule (G) et ajoutons membre à membre, il vient '
i =i l -udxdydz. 1
C'est cette équation (i)qur, dérivée deux fois en /„ dotinera -ïtt ®'') par suile,
(^r' dy* dz*
et I'qo (appliquera ^1qi^ la/0rrnule classique d^'Gréen.
Les dérivations se font conformément aux formules désnontréeà dans la deuxième J'artie, L'on a, ■
« â[X:*XJ=Xi''*-Xi'''^'
) /" 1 du j - V*i du , .
(certains termes se détruisent. D'autres sont nuls car V* s'annule sur A" et V s'annule sur A').
Nous appelons encore C" la variété à deux dimensions, intersection de A" par S, C l'intersection de A'par S,enfînC l'intersection deSetT.
7P - - L'on a encore
