COI

/■cos

n étant la normale extérieure, IV la conormale).

D'autre part; la dérivée par rapport à I, du deuxième membre

de (i) est

De '

C08(ft, /) = — C08(N, /),

il résulte que l'intégrale relative à C, que l'on vient d'écrire, est égale à la dernière intégrale qui figure dans (4)- Il reste donc, après une première dérivation,

l f '-Yd'z-f '-Td^-f-%d^

. /• dV M r'àu,,.

SUR UNE CLASSE d'kQ.D1^T10M^ KVX. DÉRITBRS PARTIELLES.

Dérivons (I) comme nous avons dérivé (i); Ton a Puis, pour les quatre intégrales de surface, l'on a

' r l du dl fi du dl

^> \. ~ J^^,..'- dti si»(N,,0 J^ r iN >iii(N,()

I r co» (/!,/■) rff /* coa(n, r) dl

\ X" r' »n(N,t) Vj.^t" 7' .in(N,0

et il reste etleBecondmeinbrede(l) donne

=Xî 7?'^''y''' + ^£'r Î^COt(N,0*.

Or, nous avons quelques groupements intéressants : - -

en appelant v la normale à C sîluà dans le plan T (car C possMe une variété à deux' dimensions de normales, tout comme une. courbe gauche dans l'espace ordinaire.).

De même nous avons

^^' siii(N,0 r- ~ 1^'

Or, ces combinaisons (7), (8), (9) se présentent naturellement 9t

r rfN 8in(N,*)

nous avons enfin '

r cos(n. r) dl d \ r rfV' dl 1

(11)^ "Jc-^c" '•' »in(N.fl"^d^U-.c. ''N "''(«■')J ' '

Or, sur C, rf/ est l'élénjent de sprface dans respâcé ordinaire. I^nc, \t second membre àe(\\'), d'après la formula de Green,çs,\.

L'intégration est effectuée.

4. La valeur de u au point A {Xo', y^j ■*«) '») ^*' obtenue en /ohô^ tion des valeurs de u et-^ sur les deux variétés , à deux dimensions C et C sections de Ut sur/ace S qui est donnée par le cône A rekui/au point A.

Ainsi la valeur de Tintégrale n'est pas du tout Ut même /bnction des données dans le problème extérieur pour A( u) et dans le problème extérieur pour B(«), It n'est pas surprenant, par conséquent,^ que nous ayons dû .prendre une méthode d'intégration différente de celle de M. Volterra.

-^Remarque. -~ Par la même- voie que M. Volterra, l'on troiive ici la Wmc Co/irfi7iOft que dans le cas de trois variables. .....

11 existe encore à^autres conditions de possibilité du problème, comme je l'ai montré dans le cas de trois variables.

La conclusion est la même : il est extrêmement dirHcile de reconnaître si la solution obtenue est une véritable solution. , -